Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетическая энергия механической системы — это сумма кинетических энергий всех ее материальных точек:

Вычислим дифференциал от выражения кинетической энергии и выполним некоторые простые преобразования:

Опуская промежуточные значения и применяя ранее введенный для обозначения элементарной работы символ , запишем:

Итак, дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы. В этом и состоит содержание теоремы об изменении кинетической энергии.

Заметим, что сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю. Она обращается в нуль только в некоторых частных случаях: когда системой служит абсолютно твердое тело; система абсолютно твердых тел, взаимодействующих при помощи не-деформируемых элементов (идеальных шарниров, абсолютно твердых стержней, нерастяжимых нитей и т.п.). По этой причине теорема об изменении кинетической энергии является единственной из общих теорем динамики, которая учитывает эффект действия внутренних сил.

Можно интересоваться изменением кинетической энергии не за бесконечно малый промежуток времени, как это делается выше, а за некоторый конечный промежуток времени . Тогда при помощи интегрирования можно получить:

Здесь — значения кинетической энергии соответственно в моменты времени — суммы полных работ внешних и внутренних сил за рассматриваемый промежуток времени.

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме, которая может быть сформулирована так: изменение кинетической энергии при переходе механической системы из одного положения в другое равно сумме полных работ всех внешних и внутренних сил.