Работа упругой силы пружины

Пусть свободный конец пружины прикреплен к телу, которое может перемещаться поступательно и прямолинейно (рис. 42). Найдем работу упругой силы пружины при переходе тела из положения, в котором пружина не деформирована (точка М тела занимает положение ) в другое положение, в котором пружина имеет удлинение (точка М занимает положение ).

Рис. 43.

Проведем ось параллельно оси пружины, введем обозначения: с — жесткость, а — длина недеформированной пружины. Тогда для текущего значения проекции упругой силы F можем записать:

где x — текущая длина пружины, в данном случае совпадающая с абсциссой точки М (координатой тела). Проекции упругой силы на оси , не показанные на рис. 42, равны нулю.

Вычисляем работу упругой силы:

Если рассмотреть обратный переход из положения , в положение , то для работы получим

Таким образом, работа упругой силы пружины между двумя ее положениями, в одном из которых пружина не напряжена, а в другом — сжата или растянута на величину , определяется по формуле

Знак плюс берется в случае разгрузки пружины (деформация изменяется от до 0), знак минус — при нагружении (деформация изменяется от 0 до ).

Полученная формула остается справедливой и в том случае, когда свободный конец пружины М движется вдоль любой криволинейной траектории.

Если пружина деформирована в обоих рассматриваемых положениях (в конечном — на величину ) в начальном — на , то имеет место формула