Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть Oxyz — инерциальная система координат, М — движущая точка массы m, — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, — ускорение точки (рис. 1). В любой момент времени для движущейся точки выполняется основное уравнение динамики:

Рис. 1.

Вспоминая из кинематики формулу

выражающую ускорение через радиус-вектор точки, представим основное уравнение динамики в следующем виде:

Это равенство, выражающее основное уравнение динамики в дифференциальной форме, называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки.

Векторное дифференциальное уравнение эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям того же порядка. Они получаются, если основное уравнение динамики спроектировать на координатные оси и записать в координатной форме:

Так как эти равенства запишутся так:

.

Полученные равенства называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовой системе координат. В этих уравнениях текущие координаты точки, — проекции на координатные оси равнодействующей сил, приложенных к точке.

Если для ускорения воспользоваться формулой

то векторное и скалярные дифференциальные уравнения движения точки запишутся в виде дифференциальных уравнений первого порядка: — векторное дифференциальное уравнение; — скалярные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения точки можно записать не только в декартовой, но в любой другой системе координат.

Так, проектируя основное уравнение динамики на естественные координатные оси, получаем равенства:

где — проекции ускорения на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории в текущем положении точки; — проекции равнодействующей силы на эти же оси. Вспоминая формулы кинематики для проекций ускорения на естественные оси и подставляя их в написанные равенства, получим:

Это дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме. Здесь — проекция скорости на направление касательной, — радиус кривизны траектории в текущем положении точки. Многие задачи динамики точки решаются более просто, если воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме.

Рассмотрим примеры на составление дифференциальных уравнений движения.

Пример 1. Материальная точка массой брошена под углом к горизонту и движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости: , где b — заданный постоянный коэффициент пропорциональности.

Изображаем движущуюся точку в произвольный (текущий) момент времени t, прикладываем действующие силы — силу сопротивления R и вес точки (рис. 2). Выбираем координатные оси — начало координат принимаем в начальном положении точки, ось направляем горизонтально в сторону движения, ось у — вертикально вверх. Определяем проекции равнодействующей на выбранные оси ( — угол наклона скорости к горизонту):

Рис. 2.

Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения точки в общем виде, получаем дифференциальные уравнения движения, соответствующие нашей задаче:

Третье уравнение отсутствует, так как движение происходит в плоскости .

Рис. 3.

Пример 2. Движение математического маятника в пустоте. Математическим маятником называют материальную точку М, подвешенную при помощи невесомой нити (или стержня) длиной к неподвижной точке О и движущуюся под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис. 3). В данном примере траектория точки известна (это окружность радиуса с центром в точке О), поэтому целесообразно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме. Принимаем за начало отсчета дуговой координаты наинизшую точку окружности направление отсчета выберем вправо. Изображаем естественные оси — касательную , главную нормаль бинормаль направлена на читателя. Проекции на эти оси равнодействующей приложенных сил — веса и реакции связи таковы ( — угол наклона маятника к вертикали):

Подставляя эти значения в общие естественные уравнения движения и учитывая равенство получаем дифференциальные уравнения движения математического маятника в естественной форме:

Так как обе действующие силы лежат в соприкасающейся плоскости , третье уравнение отсутствует.

В заключение приведем последовательность действий при составлении дифференциальных уравнений движения:

1) движущаяся точка изображается в произвольный (текущий) момент времени;

2) изображаются векторы всех действующих сил;

3) выбирается подходящая система координат;

4) проектируя основное уравнение динамики на выбранные оси, записываются дифференциальные уравнения движения.