Тело совершает плоскопараллельное движение

Пусть тело, имеющее плоскость материальной симметрии, совершает плоскопараллельное движение параллельно этой плоскости. Приводя силы инерции частиц тела к центру масс, получаем главный вектор и главный момент , где — момент инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости движения. Сила и пара с моментом действуют в плоскости движения, имеют модули и направления, противоположные направлениям ускорения центра масс и углового ускорения тела соответственно (рис. 62).

Рис. 62.

Пример. Груз массы поднимается на тросе лебедкой, к барабану которой приложена пара сил с моментом (рис. 63). Найти ускорение груза и натяжение троса, если барабан можно считать однородным круглым цилиндром с радиусом R и массой . Массой троса и сопротивлением вращению барабана пренебречь.

Рис. 63.

Решение. Расчленим систему на отдельные тела и для каждого тела составим уравнения кинетостатики.

К барабану приложены пара с моментом и вес (активные силы), реакции шарнира О и натяжение троса . Силы инерции приводятся к паре с моментом , направленным против углового ускорения барабана . Эти силы образуют плоскую произвольную систему сил, поэтому можем составить для барабана три уравнения кинетостатики. Так как реакции по условию задачи находить не требуется, составим только уравнение моментов относительно точки О:

К грузу приложены собственный вес и натяжение троса . Силы инерции материальных точек груза, движущегося поступательно, приводятся к одной силе , направленной против ускорения груза а. Проектируя эти силы на ось у, составляем уравнение кинетостатики для груза:

Входящие в составленные уравнения главный момент сил инерции барабана и главный вектор сил инерции груза определяются так:

Подставляя эти значения в уравнения и учитывая, что на основе равенства действия и противодействия , получаем два уравнения с двумя неизвестными :

Решая их, находим

Задачу можно было решать и несколько по-другому. Можно было сначала составить уравнение моментов относительно точки О для всей системы, что позволило бы сразу получить уравнение для определения ускорения груза (реакции нити, будучи для системы в целом внутренними силами, в это уравнение не войдут). Определив ускорение, далее можно найти и реакцию троса, составив уравнение кинетостатики для одного из тел.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется силой инерции материальной точки?

2. Дайте словесную формулировку и математическую запись принципа Даламбера для материальной точки.

3. Как формулируется принцип Даламбера для механической системы?

4. В чем состоит метод кинетостатики?

5. Запишите и поясните основные уравнения метода кинетостатики для механической системы.

6. Выведите формулы для вычисления главного вектора и главного момента сил инерции твердого тела.

7. К чему приводятся силы инерции твердого тела при его поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях?

Упражнения

1. Решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 26.2; 26.9; 31.25; 41.11; 41.17.

2. Две тяжелые призмы с массами , соприкасающиеся своими наклонными гранями, предоставленные себе, начинают двигаться под действием сил тяжести. Пренебрегая силами трения и считая угол а заданным, найти ускорения призм (рис. 64).

Рис. 64.

3. Круглое цилиндрическое бревно массы и радиуса R падает с наклонной площадки сортировочного конвейера, вращаясь вокруг неподвижной опорной образующей О (рис. 65). Считая, что угол задан, а угловая скорость бревна при ничтожна мала и сопротивление вращению отсутствует, найти угол и угловую скорость бревна в момент схода с конвейера.

Рис. 65.