Уравнения движения механической системы в обобщенных координатах

Такие уравнения впервые были получены Лагранжем и носят его имя. Они получаются путем преобразования общего уравнения динамики

к обобщенным координатам

Осуществим это преобразование. Общее уравнение динамики запишем для удобства в терминах сил:

Раскроем в этом выражении скобки и рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Первое слагаемое, равное

определяет возможную работу активных сил.

Согласно предыдущему, оно имеет в обобщенных координатах выражение

где — обобщенные активные

Аналогичное выражение имеет и второе слагаемое, определяющее возможную работу сил инерции:

Здесь — обобщенные силы инерции, которые определяются формулами

Преобразуем выражения для обобщенных сил инерции, для чего воспользуемся тождеством

Его справедливость устанавливается непосредственной проверкой. Непосредственной же проверкой доказывается справедливость двух следующих тождественных равенств:

Величины называются обобщенными скоростями системы.

С помощью этих равенств основное тождество приводится к более простому виду, содержащему производные только от скоростей точек системы (точнее — от скалярных квадратов скоростей):

Подставляя это выражение в формулу для обобщенных сил инерции, получаем:

где - кинетическая энергия системы.

Чтобы вычислить указанные производные, кинетическая энергия должна быть записана в обобщенных координатах, т. е. представлена в виде функции от обобщенных координат, обобщенных скоростей и, быть может, времени :

С учетом полученных выражений общее уравнение динамики запишется в обобщенных координатах в следующем виде:

Так как все независимы, это равенство выполняется, только если каждый сомножитель в квадратных скобках равен нулю. Отсюда следуют равенства

которые называются уравнениями движения механической системы в обобщенных координатах или уравнениями Лагранжа второго рода.

Если среди связей системы имеются связи неидеальные, то в правые части уравнений Лагранжа войдут также обобщенные реакции неидеальных связей , и уравнения принимают вид

где — полные обобщенные силы, учитывающие как активные силы, так и реакции неидеальных связей.

В развернутом виде эти уравнения запишутся так:

После выполнения предписанных математических действий уравнения Лагранжа приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат . По этим уравнениям, если заданы действующие силы и начальные условия, путем интегрирования можно найти закон движения системы в обобщенных координатах

Если задается закон движения системы, то составленные уравнения позволяют определить неизвестные действующие силы.

Уравнения Лагранжа второго рода являются наиболее общими уравнениями динамики. Примечательно, что уравнения всегда имеют один и тот же вид, не зависящий ни от количества тел, входящих в систему, ни от характера движения тел, которое может быть поступательным, вращательным, плоскопараллельным или сложным. Все эти детали учитываются в ходе вычисления кинетической энергии и обобщенных сил. Существенно также, что для составления уравнений Лагранжа нужно находить только скорости точек системы (при вычислении кинетической энергии), а определять ускорения не требуется. Это упрощает их составление.

Количество уравнений Лагранжа всегда равно числу степеней свободы системы.

Если механическая система находится под действием приложенных сил в равновесии, то кинетическая энергия равна нулю и постоянна . В этом случае из уравнений Лагранжа следуют уравнения равновесия механической системы в обобщенных координатах

Они показывают, что при равновесии системы обобщенные силы, соответствующие активным силам и реакциям неидеальных связей, равны нулю.

Пример. В механической системе (см. рис. 81) масса барабана равна , масса перемещаемого груза — , а движущий момент М изменяется по закону , где , к — заданные постоянные, — угловая скорость барабана. Полагая выполненным условие , найти закон движения барабана. В начальный момент система находилась в покое.

Решение. Система имеет одну степень свободы . Примем за обобщенную координату угол поворота барабана () и запишем для системы уравнение Лагранжа:

Далее вычисляем обобщенную силу и кинетическую энергию системы Т и выражаем их через обобщенную координату и обобщенную скорость .

Выражение для обобщенной силы получено ранее (см. пример 4 на с. 115). Подставляя в него значения , найдем

где .

Кинетическую энергию системы определяем как сумму кинетических энергий барабана и груза :

Вычисляем производные, указанные в левой части уравнения Лагранжа:

Подставляя найденные производные и обобщенную силу в уравнение Лагранжа, получаем дифференциальное уравнение движения системы

Дальнейшее решение задачи сводится к интегрированию этого уравнения при начальных условиях: .

Введем обозначения

и представим это уравнение, являющееся линейным неоднородным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, в следующем виде:

Его общее решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Чтобы найти общее решение однородного уравнения, составляем характеристическое уравнение и находим его корни: . По найденным корням находим

Частное решение, согласно методу специальной правой части, ищем в виде , где А — неизвестная пока постоянная. Ее находим, подставляя в неоднородное уравнение и приравнивая сходственные члены в правой и левой частях полученного равенства. Получаем

Теперь можем записать общее решение неоднородного уравнения:

После определения по начальным условиям постоянных интегрирования и подстановки найденных значений в это общее решение, получаем

Тем самым закон движения системы (и барабана) полностью определен.

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит принцип Даламбера-Лагранжа?

2. Запишите общее уравнение динамики.

3. Что называется обобщенными координатами механической системы.

Сколько у системы обобщенных координат?

4. Что такое обобщенная сила? Как она вычисляется?

5. Приведите выражение для возможной работы сил системы в обобщенных координатах.

6. Запишите уравнения Лагранжа второго рода для механической системы с степенями свободы.

7. Как записываются уравнения равновесия механической системы в обобщенных координатах?

Упражнения

1. Вывести при помощи уравнения Лагранжа второго рода дифференциальное уравнение свободных колебаний физического маятника.

2. При помощи уравнений Лагранжа второго рода решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 47.9; 47.13; 48.28.