Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Способы решения основных задач динамики точкиВ первой основной задаче заданы масса точки Рассмотрим решение этой задачи при координатном способе задания движения. Пусть Oxyz — система декартовых координатных осей; Запишем дифференциальное уравнение движения точки:
Видно, что в этих -уравнениях уже содержится решение задачи в общем виде (для большей убедительности следует поменять местами правые и левые части написанных равенств). В конкретной задаче, дифференцируя заданные функции Пример. Материальная точка М массы
Определить величину силы сопротивления Решение. Движение точки происходит под действием двух сил — собственного веса
Рис. 4. Находим
Подставляя
Таким образом, сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости с коэффициентом
Во второй основной задаче задаются масса материальной точки и действующая сила (силы), а определению подлежат уравнения движения точки. В дифференциальных уравнениях движения точки
в этом случае правые части заданы, а искомыми являются функции времени Для того чтобы найти эти функции, требуется выполнить интегрирование дифференциальных уравнений движения при определенных, заданных начальных условиях:
Обычно принимается Пример. Найти уравнения движения материальной точки в примере 1 на с. 9. Решение. Дифференциальные уравнения движения, которые были получены выше на с. 10, запишем в виде:
Точка движется, оставаясь все время в плоскости
Уравнения оказались независимыми, поэтому могут интегрироваться отдельно. Решим вначале первое уравнение, которое в переменной
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. После разделения переменных уравнение запишется так:
Теперь можно брать интегралы от обеих частей:
после чего, учитывая, что
где Решаем это логарифмическое уравнение относительно
Далее, заменяя
Снова разделяя переменные и интегрируя, получаем выражение
в котором Это и есть общее решение дифференциального уравнения Постоянные интегрирования определяем по начальным условиям движения. Для этого начальные условия
Из них находим:
Теперь все готово и остается лишь записать уравнение движения
Второе дифференциальное уравнение движения интегрируется по той же общей схеме, что и первое. После интегрирования, которое предлагаем читателю выполнить самостоятельно, получаем второе уравнение движения
Примечания 1. При интегрировании дифференциального уравнения с разделяющимися- переменными можно пользоваться определенным интегрированием на интервале Тогда начальные условия будут учитываться в пределах определенных интегралов, и постоянные интегрирования вводить не требуется. Например, интегрирование уравнения
2. Дифференциальные уравнения Покажем это на примере уравнения Вопросы для самопроверки1. Какая система отсчета (система координат) называется инерциальной? 2. В чем заключаются две основные задачи динамики материальной точки? 3. Приведите общий вид дифференциальных уравнений движения материальной точки в декартовой и естественной системах координат. 4. Что называется начальными условиями движения? Приведите примеры задания начальных условий. 5. Приведите пример решения первой основной задачи динамики точки. 6. В чем состоит вторая основная задачи динамики точки и как она решается? 7. Как определяются постоянные интегрирования при решении второй основной задачи динамики? Упражнения1. В примере, приведенном на с. 12, получить закон движения точки вдоль оси 2. Выполнить в укапанной последовательности следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 26.16; 26.13; 26.25; 26.2; 26.9; 26.28.
|
1 |
Оглавление
|