Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Способы решения основных задач динамики точкиВ первой основной задаче заданы масса точки и ее закон движения в той или иной форме — векторной, координатной или естественной. Требуется найти неизвестную силу, действующую на движущуюся точку. Рассмотрим решение этой задачи при координатном способе задания движения. Пусть Oxyz — система декартовых координатных осей; — заданные уравнения движения точки в этих осях. Неизвестную равнодействующую F сил, приложенных к точке, будем искать, определяя ее проекции на координатные оси. Запишем дифференциальное уравнение движения точки:
Видно, что в этих -уравнениях уже содержится решение задачи в общем виде (для большей убедительности следует поменять местами правые и левые части написанных равенств). В конкретной задаче, дифференцируя заданные функции два раза по времени и подставляя результат в дифференциальные уравнения движения, определяем проекции искомой равнодействующей. Далее, если это необходимо, определяем модуль силы и косинусы углов, образуемых силой с координатными осями. Пример. Материальная точка М массы падает вертикально в среде с сопротивлением, причем уравнение движения имеет вид (рис. 4):
Определить величину силы сопротивления . Решение. Движение точки происходит под действием двух сил — собственного веса и силы сопротивления - ; проекция равнодействующей на направление движения (ось у) будет равна . Составляем дифференциальное уравнение движения (при прямолинейном движении имеет место одно дифференциальное уравнение движения):
Рис. 4. Находим , для чего дважды дифференцируем по времени заданный закон движения точки:
Подставляя в дифференциальное уравнение движения и разрешая его относительно неизвестной R, получаем:
Таким образом, сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости с коэффициентом . Векторная формула для силы будет иметь вид
Во второй основной задаче задаются масса материальной точки и действующая сила (силы), а определению подлежат уравнения движения точки. В дифференциальных уравнениях движения точки
в этом случае правые части заданы, а искомыми являются функции времени , определяющие закон движения точки. Для того чтобы найти эти функции, требуется выполнить интегрирование дифференциальных уравнений движения при определенных, заданных начальных условиях:
Обычно принимается . Пример. Найти уравнения движения материальной точки в примере 1 на с. 9. Решение. Дифференциальные уравнения движения, которые были получены выше на с. 10, запишем в виде:
Точка движется, оставаясь все время в плоскости , поэтому имеем не три, а только два дифференциальных уравнения движения. Для решения задачи требуется проинтегрировать эти уравнения при следующих начальных условиях:
Уравнения оказались независимыми, поэтому могут интегрироваться отдельно. Решим вначале первое уравнение, которое в переменной можно представить в следующем виде:
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. После разделения переменных уравнение запишется так:
Теперь можно брать интегралы от обеих частей:
после чего, учитывая, что , получаем:
где — произвольная постоянная интегрирования. Решаем это логарифмическое уравнение относительно :
Далее, заменяя выражением , снова приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными
Снова разделяя переменные и интегрируя, получаем выражение
в котором — новая (вторая) постоянная интегрирования. (Заметим, что представляют собой разные формы записи одной и той же (первой) постоянной интегрирования). Это и есть общее решение дифференциального уравнения . Для того чтобы найти уравнение движения точки, требуется найти постоянные интегрирования и подставить в это общее решение. Постоянные интегрирования определяем по начальным условиям движения. Для этого начальные условия подставляем в выражения для , что дает нам два уравнения (конечных, не дифференциальных) для определения :
Из них находим:
Теперь все готово и остается лишь записать уравнение движения
Второе дифференциальное уравнение движения интегрируется по той же общей схеме, что и первое. После интегрирования, которое предлагаем читателю выполнить самостоятельно, получаем второе уравнение движения
Примечания 1. При интегрировании дифференциального уравнения с разделяющимися- переменными можно пользоваться определенным интегрированием на интервале . Тогда начальные условия будут учитываться в пределах определенных интегралов, и постоянные интегрирования вводить не требуется. Например, интегрирование уравнения тогда свелось бы к следующим последовательным действиям:
2. Дифференциальные уравнения , приводимые, как это было показано выше, к уравнениям с разделяющимися переменными, одновременно являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и могут интегрироваться методами, установленными для этого типа уравнений. Покажем это на примере уравнения . Это — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: . По найденным корням выписываем общее решение: , далее находим выражение для проекции скорости на ось . Для получения кинематического уравнения движения остается найти произвольные постоянные , что делается обычным порядком. Вопросы для самопроверки1. Какая система отсчета (система координат) называется инерциальной? 2. В чем заключаются две основные задачи динамики материальной точки? 3. Приведите общий вид дифференциальных уравнений движения материальной точки в декартовой и естественной системах координат. 4. Что называется начальными условиями движения? Приведите примеры задания начальных условий. 5. Приведите пример решения первой основной задачи динамики точки. 6. В чем состоит вторая основная задачи динамики точки и как она решается? 7. Как определяются постоянные интегрирования при решении второй основной задачи динамики? Упражнения1. В примере, приведенном на с. 12, получить закон движения точки вдоль оси . 2. Выполнить в укапанной последовательности следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 26.16; 26.13; 26.25; 26.2; 26.9; 26.28.
|
1 |
Оглавление
|