Способы решения основных задач динамики точки

В первой основной задаче заданы масса точки и ее закон движения в той или иной форме — векторной, координатной или естественной. Требуется найти неизвестную силу, действующую на движущуюся точку.

Рассмотрим решение этой задачи при координатном способе задания движения. Пусть Oxyz — система декартовых координатных осей; — заданные уравнения движения точки в этих осях. Неизвестную равнодействующую F сил, приложенных к точке, будем искать, определяя ее проекции на координатные оси.

Запишем дифференциальное уравнение движения точки:

Видно, что в этих -уравнениях уже содержится решение задачи в общем виде (для большей убедительности следует поменять местами правые и левые части написанных равенств).

В конкретной задаче, дифференцируя заданные функции два раза по времени и подставляя результат в дифференциальные уравнения движения, определяем проекции искомой равнодействующей. Далее, если это необходимо, определяем модуль силы и косинусы углов, образуемых силой с координатными осями.

Пример. Материальная точка М массы падает вертикально в среде с сопротивлением, причем уравнение движения имеет вид (рис. 4):

Определить величину силы сопротивления .

Решение. Движение точки происходит под действием двух сил — собственного веса и силы сопротивления - ; проекция равнодействующей на направление движения (ось у) будет равна . Составляем дифференциальное уравнение движения (при прямолинейном движении имеет место одно дифференциальное уравнение движения):

Рис. 4.

Находим , для чего дважды дифференцируем по времени заданный закон движения точки:

Подставляя в дифференциальное уравнение движения и разрешая его относительно неизвестной R, получаем:

Таким образом, сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости с коэффициентом . Векторная формула для силы будет иметь вид

Во второй основной задаче задаются масса материальной точки и действующая сила (силы), а определению подлежат уравнения движения точки. В дифференциальных уравнениях движения точки

в этом случае правые части заданы, а искомыми являются функции времени , определяющие закон движения точки.

Для того чтобы найти эти функции, требуется выполнить интегрирование дифференциальных уравнений движения при определенных, заданных начальных условиях:

Обычно принимается .

Пример. Найти уравнения движения материальной точки в примере 1 на с. 9.

Решение. Дифференциальные уравнения движения, которые были получены выше на с. 10, запишем в виде:

Точка движется, оставаясь все время в плоскости , поэтому имеем не три, а только два дифференциальных уравнения движения. Для решения задачи требуется проинтегрировать эти уравнения при следующих начальных условиях:

Уравнения оказались независимыми, поэтому могут интегрироваться отдельно.

Решим вначале первое уравнение, которое в переменной можно представить в следующем виде:

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. После разделения переменных уравнение запишется так:

Теперь можно брать интегралы от обеих частей:

после чего, учитывая, что , получаем:

где — произвольная постоянная интегрирования.

Решаем это логарифмическое уравнение относительно :

Далее, заменяя выражением , снова приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

Снова разделяя переменные и интегрируя, получаем выражение

в котором — новая (вторая) постоянная интегрирования. (Заметим, что представляют собой разные формы записи одной и той же (первой) постоянной интегрирования).

Это и есть общее решение дифференциального уравнения . Для того чтобы найти уравнение движения точки, требуется найти постоянные интегрирования и подставить в это общее решение.

Постоянные интегрирования определяем по начальным условиям движения. Для этого начальные условия подставляем в выражения для , что дает нам два уравнения (конечных, не дифференциальных) для определения :

Из них находим:

Теперь все готово и остается лишь записать уравнение движения

Второе дифференциальное уравнение движения интегрируется по той же общей схеме, что и первое. После интегрирования, которое предлагаем читателю выполнить самостоятельно, получаем второе уравнение движения

Примечания

1. При интегрировании дифференциального уравнения с разделяющимися- переменными можно пользоваться определенным интегрированием на интервале .

Тогда начальные условия будут учитываться в пределах определенных интегралов, и постоянные интегрирования вводить не требуется. Например, интегрирование уравнения тогда свелось бы к следующим последовательным действиям:

2. Дифференциальные уравнения , приводимые, как это было показано выше, к уравнениям с разделяющимися переменными, одновременно являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и могут интегрироваться методами, установленными для этого типа уравнений.

Покажем это на примере уравнения . Это — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: . По найденным корням выписываем общее решение: , далее находим выражение для проекции скорости на ось . Для получения кинематического уравнения движения остается найти произвольные постоянные , что делается обычным порядком.

Вопросы для самопроверки

1. Какая система отсчета (система координат) называется инерциальной?

2. В чем заключаются две основные задачи динамики материальной точки?

3. Приведите общий вид дифференциальных уравнений движения материальной точки в декартовой и естественной системах координат.

4. Что называется начальными условиями движения? Приведите примеры задания начальных условий.

5. Приведите пример решения первой основной задачи динамики точки.

6. В чем состоит вторая основная задачи динамики точки и как она решается?

7. Как определяются постоянные интегрирования при решении второй основной задачи динамики?

Упражнения

1. В примере, приведенном на с. 12, получить закон движения точки вдоль оси .

2. Выполнить в укапанной последовательности следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 26.16; 26.13; 26.25; 26.2; 26.9; 26.28.