Интегральная форма теоремы об изменении количества движения

Теорему об изменении количества движения можно записать также в интегральной (конечной) форме. Пусть в начале и конце некоторого рассматриваемого интервала времени , количество движения равно соответственно . Домножим обе части равенства на и проинтегрируем на этом интервале:

Произведение вектора силы на бесконечно малый промежуток времени ее действия называется элементарным импульсом силы .

Интеграл от элементарного импульса на интервале

называется импульсом (полным импульсом) силы на этом интервале. С использованием этого понятия теорема запишется в виде

и читается так: изменение количества движения механической системы за некоторый (конечный) промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени. Теорема в такой форме применяется при изучении удара твердых тел.

Подставим в равенство

выражающее теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме, формулу

служащую для вычисления количества движения, и расшифруем обозначение .

В результате придем к равенству

в точности совпадающему с математическим выражением теоремы о движении центра масс. Откуда следует, что теоремы об изменении количества движения системы и о движении центра масс вполне тождественны.

Однако по способу выражения общего объективного содержания эти теоремы настолько отличаются, что считаются вполне самостоятельными теоремами динамики. Каждая из теорем имеет свою преимущественную область применения. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме применяется в механике сплошной среды, в интегральной форме — в теории удара твердых тел. Теорема о движении центра масс применяется в динамике твердого тела и системы твердых тел.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется основными динамическими величинами механической системы?

2. Как вычисляется количество движения механической системы? Его проекция на координатную ось?

3. Сформулируйте теорему об изменении количества движения (в векторной и координатной форме).

4. Какие следствия вытекают из этой теоремы?

5. Что называется элементарным и полным импульсом силы?

6. Приведите теорему об изменении количества движения в интегральной форме.

Упражнения

1. Найти количество движения диска массы кг в момент с, если его центр С движется согласно уравнению (рис. 29).

2. Найти количество движения системы, изображенной на рис. 30, если скорость стержня равна . Масса стержня , масса каждого из катков , проскальзывание между стержнем и катками, а также между основанием и катками отсутствует.

3. Решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 36.9; 36.10; 28.6; 28.11.

Рис. 29.

Рис. 30.