Определение закона движения точки под действием силы, зависящей только от времени

Дифференциальное уравнение движения имеет следующий общий вид:

Переходим к переменной и рассматриваем уравнение первого порядка

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

после чего берем интегралы от обеих частей. Воспользовавшись определенным интегрированием, запишем:

Если интеграл в правой части берется, отсюда находим

где — известная функция времени. Заменяем его выражением :

снова разделяем переменные и интегрируем в соответствующих пределах:

Последнее равенство определяет искомый закон движения точки. Задачу можно решать и при помощи неопределенных интегралов. В этом случае при каждом интегрировании не нужно забывать вводить произвольную постоянную интегрирования.

Пример. На тело массы , расположенное на неподвижной горизонтальной плоскости, начинает действовать постоянная по направлению горизонтальная сила где t — время в секундах, а — заданный постоянный коэффициент. Одновременно с приложением силы телу сообщается в направлении силы скорость .

Рис. 5.

Принимая тело за материальную точку и пренебрегая трением, определить закон движения тела.

Решение. Выберем начало координат в начальном положении точки, ось совместим с общим направлением силы F и начальной скорости Движение начинается в момент . В текущий момент тело находится в некотором положении М, определяемом координатой (рис. 5). На тело действуют сила F, оговоренная в условии задачи, а также сила тяжести и нормальная реакция N плоскости. Так как силы и N перпендикулярны оси , их проекции на эту ось равны нулю. Сила F проектируется в натуральную величину с положительным знаком: . Так же в натуральную величину с положительным знаком проектируется и текущая скорость тела: . Составляем дифференциальное уравнение движения, которое сразу записываем в виде уравнения первого порядка

После разделения переменных и интегрирования будем иметь

Полагаем , снова разделяем переменные и интегрируем:

Постоянные интегрирования определяем по начальным условиям, которые имеют вид:

Для этого подставляем начальные условия в результат первого и второго интегрирования и находим:

Теперь можем записать искомое уравнение движения тела