Физический маятник и его малые колебания

Физическим маятником называется твердое тело, находящееся в поле силы тяжести и имеющее горизонтальную ось вращения, не проходящую через центр тяжести тела.

Пусть — масса тела, J — его момент инерции относительно оси вращения — расстояние от центра тяжести до оси вращения (рис. 36). Выведенное из положения равновесия, тело будет вращаться либо совершать колебательное движение. В обоих случаях дифференциальное уравнение движения имеет один и тот же вид (силами трения пренебрегаем):

Рис. 36.

Пусть начальные условия таковы, что угол все время остается малым (максимальное отклонение от вертикали не превышает ). Тогда можно приближенно принять (в радианах) и рассматривать более простое уравнение:

или, что то же, уравнение

Это уравнение называется дифференциальным уравнением малых колебаний физического маятника. Из него следует, что малые колебания физического маятника являются гармоническими колебаниями частоты

и периода

Амплитуда и фаза колебаний будут определяться начальным отклонением и начальной угловой скоростью физического маятника.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется моментом количества движения материальной точки?

2. Что называется кинетическим моментом механической системы относительно данного центра, данной оси?

3. Приведите общие формулы для определения кинетического момента механической системы (относительно данного центра, данной оси).

4. Приведите математическую запись теоремы об изменении кинетического момента. Дайте словесную формулировку теоремы.

5. В каких случаях кинетический момент системы или его проекция на ось остаются постоянными при движении системы?

6. Какие координатные оси называются осями Кенига?

7. Приведите общую формулу для определения кинетического момента твердого тела относительно данного неподвижного центра?

8. Как вычисляется кинетический момент тела при его поступательном и вращательном движениях?

9. Как составляются дифференциальные уравнения движения тела при его поступательном движении? При вращении вокруг неподвижной оси? При плоскопараллельном движении?

10. Что называется физическим маятником? Как определяется период его малых колебаний?

Упражнения

1. Материальная точка М массы движется по окружности радиуса R согласно уравнению (рис. 37). Вычислить и построить количество движения и момент количества движения точки при .

Рис. 37.

2. Сплошной однородный диск массы и радиуса R вращается вокруг своей оси согласно уравнению . Найти кинетический момент диска относительно оси вращения.

3. Решить в указанном порядке следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 28.4; 37.1; 37.56; 37.43; 37.5; 37.6; 37.16.