Влияние сопротивления на свободные и вынужденные колебания

В приведенном выше анализе свободных и вынужденных колебаний не были учтены силы сопротивления, которые всегда присутствуют в реальном колебательном процессе. Обычно рассматривают силу сопротивления вида

называемую линейным сопротивлением, или линейным трением.

При учете линейного сопротивления в правой части дифференциального уравнения движения появляется дополнительное слагаемое , выражающее проекцию силы сопротивления на ось . С ее учетом дифференциальное уравнение свободных колебаний становится полным линейным однородным уравнением второго порядка

Анализ его решения показывает, что при условии движение точки не будет иметь колебательного характера. Выведенная из положения равновесия, точка медленно возвращается снова в это положение, находясь все время по одну сторону от положения равновесия либо единственный раз переходя через него. Чтобы движение было колебательным, должно выполняться условие .

Для определения закона движения при осуществим замену переменной . Дифференцируя формулу замены два раза по времени и подставляя результат в дифференциальное уравнение свободных колебаний с сопротивлением, приходим к следующему уравнению относительно новой переменной :

Это уравнение того же типа, что и дифференциальное уравнение свободных колебаний без трения. Его решение имеет вид

где — постоянные интегрирования. После перехода к переменной получаем

Это и есть искомый закон свободных колебаний при наличии сопротивления. Роль амплитуды колебаний в данном случае играет величина , убывающая с течением времени. Следовательно, свободные колебания при наличии сопротивления являются затухающими колебаниями (рис. 17).

Рис. 17.

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическим движением, так как движение полностью не повторяется. Однако движущаяся точка пересекает положение равновесие через одинаковые промежутки времени, равные

Поэтому можно условно говорить о периоде затухающих колебаний, понимая под ним величину .

Пусть — какой-либо момент времени, когда отклонение точки от положения равновесия максимально (см. рис. 17). Следующие моменты максимального отклонения в ту же сторону будут: . Соответствующие максимальные отклонения при этом составляют:

Можно заметить, что отношение каждого последующего наибольшего отклонения к своему предыдущему равно одному и тому же значению:

Эта величина называется декрементом колебаний и служит в теории колебаний показателем, характеризующим быстроту (темп) затухания колебаний. Натуральный логарифм декремента, взятый по модулю, называется логарифмическим декрементом колебаний. Таким образом, можем написать:

— декремент колебаний;

— логарифмический декремент колебаний.

Иногда в качестве декремента выбирают отношение последовательных наибольших отклонений по разные стороны от положения равновесия. В этом случае декремент и логарифмический декремент определяются формулами

Наличие сопротивления вносит изменения и в процесс вынужденных колебаний, которые при наличии линейного сопротивления будут описываться уравнением

В общем решении этого линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, имеющего вид

(общее решение однородного уравнения) теперь представляет собой затухающие колебания, исчезающие с течением времени:

Поэтому установившееся движение будет состоять только из вынужденных колебаний, которые определяются частным решением этого уравнения

где

Формулы для вычисления b и легко получаются методом неопределенных коэффициентов (предлагаем читателю получить их самостоятельно).

Положительная величина является амплитудой вынужденных колебаний угол определяет разность (сдвиг) фаз вынужденных колебаний и вынуждающей силы.

Отметим основные свойства колебаний при наличии сопротивления.

1. При любых начальных условиях движение точки с течением времени будет состоять только из вынужденных колебаний. Начальные условия «умирают» вместе со свободными колебаниями, которые постепенно затухают.

2. Несмотря на присутствие сопротивления движению, вынужденные колебания являются гармоническими (незатухающими) колебаниями и происходят с частотой вынуждающей силы.

3. Амплитуда вынужденных колебаний всегда конечна (сила сопротивления ограничивает резонансную амплитуду).

Вопросы для самопроверки

1. Что такое восстанавливающая сила? Какова формула для проекции линейной восстанавливающей силы на направление движения точки?

2. Запишите дифференциальное уравнение свободных колебании материальной точки под действием линейкой восстанавливающей силы.

3. Запишите кинематическое (после интегрирования) уравнение свободных гармонический колебаний. Что такое частота, период, амплитуда и фаза гармонических колебаний?

4. Что называется нелинейвдми колебаниями?

5. Какие силы называются вынуждающими? Что такое гармоническая вынуждающая сила, ее частота, период и амплитуда? Укажите их размерности.

6. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний под действием гармонической вынуждающей силы. Как определяются по нему вынужденные колебания?

7. В чем состоит явление резонанса вынужденных колебаний?

8. Приведите дифференциальное уравнение, описывающее затухающие свободные колебания материальной точки. Поясните смысл входящих в него коэффициентов.

9. Что называется декрементом и логарифмическим декрементом колебаний?

10. В чем отличие резонанса вынужденных колебаний при наличии и при отсутствии силы сопротивления?

Упражнения

Решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 32.12; 32.13; 32.17; 32.28; 32.36; 32.53; 32.81; 32.94.