Уравнения связей. Классификация связей по виду их уравнений

Связи можно выражать при помощи уравнений. Так, связь, накладываемая на математический маятник М стержнем длиной (см. рис. 69), выражается уравнением , где х, у — координаты точки М. Если вместо стержня будет такой же длины гибкая невесомая нить, то уравнение связи приобретает вид неравенства

так как в этом случае точка М может находиться как на окружности, так и внутри нее.

Если вместо цилиндрического шарнира в точке О имеем сферический шарнир, материальная точка М становится пространственным маятником, а уравнение связи будет

в случае стержня и

в случае нити.

Пусть длина нити ОМ изменяется с течением времени по заданному закону . Тогда в уравнение связи в качестве одной из переменных будет входить также время t. Например, если нить втягивается в кольцо О с постоянной по величине скоростью V (рис. 70,а) и в момент имеет длину , то уравнение связи имеет вид

В общем случае в уравнение связи могут входить координаты всех материальных точек системы и время t, т. е. уравнение связи в общем виде имеет выражение

Наличие индекса указывает, что на систему может быть наложена не одна, а одновременно несколько связей.

По виду своих уравнений связи подразделяются на удерживающие и неудерживающие, стационарные и нестационарные. Связь называется удерживающей или двусторонней, если ее уравнение имеет вид строгого равенства. Такова связь в математическом маятнике в случае закрепления при помощи стержня.

Рис. 70.

Другой пример дают две материальные точки , соединенные между собой невесомым жестким стержнем длиной (рис. 70,б). Условие связи состоит в неизменности расстояния между точками и выражается при помощи уравнения

Если уравнение связи имеет вид равенства-неравенства, то связь называется неудерживающей или односторонней. Примером системы с неудерживающей связью служит математический маятник в случае закрепления при помощи нити. Такова же связь, накладываемая на катящееся колесо опорной плоскостью (рис. 70,в), описываемая уравнением

Связь (удерживающая или неудерживающая) называется стационарной, если в ее уравнение время t не входит явным образом. В противном случае связь называется нестационарной или реономной. Примерами систем с реономными связями служат математический маятник, длина которого изменяется заданным образом во времени; тело на подвижной опоре, совершающей заданное движение (например, гармоническую вибрацию (рис. 70,г) и т.д.