Определение закона движения точки под действием силы, зависящей только от положения

В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид

или, в виде уравнения первого порядка:

Здесь содержатся три переменные — поэтому для применения метода разделения переменных требуется исключить одну из них. Это делается при помощи следующего преобразования левой части уравнения:

после чего уравнение принимает типичный вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

Разделяя переменные и интегрируя, например, вычисляя от обеих частей неопределенные интегралы, будем иметь:

Если интеграл справа берется, то его переменная часть будет функцией от , и для первой степени скорости мы можем написать выражение

где — известная функция. Далее следует:

Рис. 6.

Если неопределенный интеграл слева берется, то его переменная часть суть некоторая известная функция , и последнее равенство принимает вид

Дальнейшее решение состоит в определении постоянных из уравнений, которые получаются подстановкой начальных условий в выражения . Если теперь равенство , в которое подставлены найденные значения , разрешить относительно , то мы получим зависимость — искомое уравнение движения точки. (Однако это не всегда возможно, так как зависимость ) может оказаться алгебраическим уравнением высокого порядка либо сложным трансцендентным уравнением).

Пример. Тело массы движется по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью . В некоторый момент оно наталкивается на пружину и далее движется, сжимая пружину. Найти максимальное сжатие пружины, если упругая сила может быть выражена равенством F — , где — деформация (сжатие) пружины, а — заданные постоянные коэффициенты. Для числовых значений коэффициентов принять для простоты .

Решение. Тело принимаем за материальную точку, момент начала контакта тела с пружиной принимаем за начальный , движение отнесем к оси с началом, совпадающим с начальным положением тела (рис. 6). Тогда задача сведется к решению дифференциального уравнения :

с начальными условиями

Действующая сила является функцией координаты (положения), поэтому левую часть уравнения следует представить в виде .

Тогда дифференциальное уравнение движения перепишется так:

Для решения задачи здесь не требуется находить уравнение движения тела (такое подробное описание движения было бы излишним). Достаточно рассмотреть интервал от начала движения до момента остановки .

Разделяем переменные в уравнении движения и интегрируем в соответствующих пределах:

Последнее выражение представляет собой биквадратное уравнение для определения максимального сжатия :

Из него находим