Главная > Теоретическая механика. 20 лекций. Ч. 2. Динамика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Определение закона движения точки под действием силы, зависящей только от положения

В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид

или, в виде уравнения первого порядка:

Здесь содержатся три переменные — поэтому для применения метода разделения переменных требуется исключить одну из них. Это делается при помощи следующего преобразования левой части уравнения:

после чего уравнение принимает типичный вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

Разделяя переменные и интегрируя, например, вычисляя от обеих частей неопределенные интегралы, будем иметь:

Если интеграл справа берется, то его переменная часть будет функцией от , и для первой степени скорости мы можем написать выражение

где — известная функция. Далее следует:

Рис. 6.

Если неопределенный интеграл слева берется, то его переменная часть суть некоторая известная функция , и последнее равенство принимает вид

Дальнейшее решение состоит в определении постоянных из уравнений, которые получаются подстановкой начальных условий в выражения . Если теперь равенство , в которое подставлены найденные значения , разрешить относительно , то мы получим зависимость — искомое уравнение движения точки. (Однако это не всегда возможно, так как зависимость ) может оказаться алгебраическим уравнением высокого порядка либо сложным трансцендентным уравнением).

Пример. Тело массы движется по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью . В некоторый момент оно наталкивается на пружину и далее движется, сжимая пружину. Найти максимальное сжатие пружины, если упругая сила может быть выражена равенством F — , где — деформация (сжатие) пружины, а — заданные постоянные коэффициенты. Для числовых значений коэффициентов принять для простоты .

Решение. Тело принимаем за материальную точку, момент начала контакта тела с пружиной принимаем за начальный , движение отнесем к оси с началом, совпадающим с начальным положением тела (рис. 6). Тогда задача сведется к решению дифференциального уравнения :

с начальными условиями

Действующая сила является функцией координаты (положения), поэтому левую часть уравнения следует представить в виде .

Тогда дифференциальное уравнение движения перепишется так:

Для решения задачи здесь не требуется находить уравнение движения тела (такое подробное описание движения было бы излишним). Достаточно рассмотреть интервал от начала движения до момента остановки .

Разделяем переменные в уравнении движения и интегрируем в соответствующих пределах:

Последнее выражение представляет собой биквадратное уравнение для определения максимального сжатия :

Из него находим

1
Оглавление
email@scask.ru