Главная > Теоретическая механика. 20 лекций. Ч. 2. Динамика
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Определение закона движения точки под действием силы, зависящей только от положения

В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид

или, в виде уравнения первого порядка:

Здесь содержатся три переменные — поэтому для применения метода разделения переменных требуется исключить одну из них. Это делается при помощи следующего преобразования левой части уравнения:

после чего уравнение принимает типичный вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

Разделяя переменные и интегрируя, например, вычисляя от обеих частей неопределенные интегралы, будем иметь:

Если интеграл справа берется, то его переменная часть будет функцией от , и для первой степени скорости мы можем написать выражение

где — известная функция. Далее следует:

Рис. 6.

Если неопределенный интеграл слева берется, то его переменная часть суть некоторая известная функция , и последнее равенство принимает вид

Дальнейшее решение состоит в определении постоянных из уравнений, которые получаются подстановкой начальных условий в выражения . Если теперь равенство , в которое подставлены найденные значения , разрешить относительно , то мы получим зависимость — искомое уравнение движения точки. (Однако это не всегда возможно, так как зависимость ) может оказаться алгебраическим уравнением высокого порядка либо сложным трансцендентным уравнением).

Пример. Тело массы движется по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью . В некоторый момент оно наталкивается на пружину и далее движется, сжимая пружину. Найти максимальное сжатие пружины, если упругая сила может быть выражена равенством F — , где — деформация (сжатие) пружины, а — заданные постоянные коэффициенты. Для числовых значений коэффициентов принять для простоты .

Решение. Тело принимаем за материальную точку, момент начала контакта тела с пружиной принимаем за начальный , движение отнесем к оси с началом, совпадающим с начальным положением тела (рис. 6). Тогда задача сведется к решению дифференциального уравнения :

с начальными условиями

Действующая сила является функцией координаты (положения), поэтому левую часть уравнения следует представить в виде .

Тогда дифференциальное уравнение движения перепишется так:

Для решения задачи здесь не требуется находить уравнение движения тела (такое подробное описание движения было бы излишним). Достаточно рассмотреть интервал от начала движения до момента остановки .

Разделяем переменные в уравнении движения и интегрируем в соответствующих пределах:

Последнее выражение представляет собой биквадратное уравнение для определения максимального сжатия :

Из него находим

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru