Лекция 20. Принцип Даламбера-Лагранжа и общее уравнение динамики. Уравнения движения механической системы в обобщенных координатах

Принцип Даламбера-Лагранжа

Соединение принципа Даламбера с принципом возможных перемещений приводит к новому принципу механики принципу Даламбера-Лагранжа. Принцип имеет следующие словесную формулировку и математическую запись.

Словесная формулировка:

При любом движении механической системы с удерживающими идеальными связями возможная работа активных сил и сил инерции системы равна нулю.

Математическая запись:

Математическое выражение принципа можно записать и в более подробном виде:

Здесь и — активная сила и сила инерции точки движущейся механической системы, — возможное перемещение этой точки из ее положения в рассматриваемый произвольный момент времени .

Доказательство производится аналогично тому, как это делается при обосновании необходимости условия в принципе возможных перемещений. Пусть — система материальных точек с идеальными удерживающими связями, движущаяся под действием приложенных сил. Зафиксируем систему в произвольный момент времени t, выделим в ней произвольную точку и применим к ней принцип Даламбера:

Выведем теперь систему из данного фиксированного положения, сообщив ей возможное перемещение. Пусть точка получит при этом элементарное перемещение . Умножая обе части написанного выше уравнения кинетостатики скалярно на и суммируя по всем точкам системы, получим:

или, в краткой записи:

Здесь — возможная работа сил инерции системы.

По условию, все связи системы идеальные. Следовательно, , и мы получаем

что и требовалось доказать.

Как и в случае принципа возможных перемещений, формулировку принципа Даламбера-Лагранжа можно сохранить и для систем с неидеальными связями, включив реакции неидеальных связей в число активных сил.

Принцип Даламбера-Лагранжа, будучи столь же общим правилом механики, что и принцип Даламбера, при решении задач более удобен, так как позволяет составлять уравнения динамики, не содержащие реакций идеальных связей.

Пример 1. Применяя принцип Даламбера-Лагранжа, найти ускорения призм в примере 1 на с. 104, если силу Р, удерживавшую призмы в равновесии, мгновенно убрали.

Решение. При отсутствии силы Р призмы приходят в движение под действием силы тяжести призмы 1. Обозначив через ускорение призмы 1, для ускорения призмы 2 будем иметь . По ускорениям определяем равнодействующие сил инерции призм: (рис. 76). Модули сил инерции будут равны:

Рис. 76.

Сообщим системе возможное перемещение — пусть это будет пе-ремещение, при котором призма 1 сместится вниз на величину , а призма 2 — вправо на величину . В соответствии с принципом Даламбера-Лагранжа, возможная работа активных сил и сил инерции равна нулю, т. е.

Подставляя сюда значения сил инерции, учитывая равенство и сокращая на , получаем уравнение для определения ускорения

Из него находим

и далее

Пример 2. Груз массы поднимают вверх при помощи троса и лебедки, к барабану которой приложена пара сил с моментом М (рис. 77). Найти уравнение движения груза, если в начальный момент он был неподвижен. Момент пары сил выражается зависимостью , причем , где R — радиус барабана.

Решение. Сначала найдем ускорение груза, для чего применим ко всей системе принцип Даламбера-Лагранжа. К активным силам — паре с моментом М и силам тяжести добавим силы инерции. Силы инерции груза приводятся к одной силе , где а — ускорение груза; силы инерции барабана — к паре сил с моментом

Сила направлена противоположно ускорению а, момент — противоположно угловому ускорению барабана .

Сообщим системе возможное перемещение. Пусть это будет поворот барабана на угол и смещение груза на величину в направлении действительного движения системы. Вычисляем возможную работу активных сил и сил инерции и приравниваем ее нулю:

Подставляя сюда выражения для М, и учитывая, что , после сокращения на получаем:

Отсюда находим ускорение груза:

Пусть у — координата груза, отсчитываемая от его начального положения (при ). Заменяя а его выражением , получаем дифференциальное уравнение движения груза

Рис. 77.

Интегрируя это дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях , получаем искомое уравнение движения груза (кинематическое):