Кинетический момент твердого тела (общий случай)

Во многих случаях в качестве механической системы выступают твердое тело и система твердых тел.

В динамике твердого тела часто возникает необходимость во введении вспомогательной системы координатных осей, начало которой находится в центре масс тела и которые движутся, оставаясь все время параллельными самим себе (поступательно движутся вместе с центром масс). Такие оси называются осями Кёнига.

Рис. 32.

При вычислении кинетического момента твердое тело мысленно разбиваем на N малых частиц (материальных точек) и вводим две вспомогательные системы координат с началом в центре масс С — систему осей Кёнига и систему Cxyz, оси которой неизменно связаны с движущимся телом (как бы «вморожены» в тело) (рис. 32). Тогда Рис. 32 движение материальных точек тела относительно основной (неподвижной) системы координат Oxyz можем рассматривать как сложное движение, состоящее из переносного (движение осей Кёнига) и относительного (движение точек тела относительно осей Кёнига). Соответственно, скорости точек тела в выражении для кинетического момента будут являться абсолютными скоростями и вычисляться при помощи теоремы сложения скоростей по формулам

Здесь учтено, что переносное движение является поступательным, поэтому переносные скорости точек тела все одинаковы и равны скорости центра масс.

Подставим это выражение в формулу для определения кинетического момента системы (в данном случае — тела):

Первая сумма приводится к виду

и представляет собой момент относительно центра О количества движения тела , приложенного в центре масс тела. Вторая сумма определяет главный момент относительных количеств движения точек тела относительно того же центра О.

Введем в рассмотрение главный момент относительных количеств движения тела относительно центра масс

где — радиусы-векторы материальных точек тела, проведенные из центра масс, и покажем, что имеет место равенство . Для этого выразим абсолютные радиусы-векторы через радиус-вектор центра масс и относительные радиусы-векторы

и подставим в выражение для

Но первый член в полученной сумме равен нулю, так как равна нулю величина . Действительно, для этой величины последовательно можем написать:

так как сохраняет постоянное значение (равное нулю). Следовательно, имеет место равенство .

В результате для вычисления кинетического момента твердого тела относительно неподвижного центра О получаем следующую общую формулу:

Напомним, что в этой формуле М — масса тела, — радиус-вектор центра масс, проведенный из неподвижного центра О, — скорость центра масс, — кинетический момент тела в его относительном движении по отношению к осям Кёнига, вычисленный относительно центра масс.

Отметим частные случаи.

Тело движется поступательно. В этом случае относительное движение отсутствует — положение тела не изменяется относительно осей Кёнига. Относительные скорости частиц () равны нулю, вместе с ними равен нулю и относительный кинетический момент тела .

Следовательно, для определения кинетического момента остается только первый член в полученной общей формуле, т. е.

Так как формулу можно записать и в другом виде:

Из нее следует, что кинетический момент поступательно движущегося тела относительно некоторого неподвижного центра равен моменту относительно этого центра количества движения тела, приложенного в его центре масс. Правило сохраняется и при вычислении кинетических моментов тела относительно координатных осей .

Тело вращается вокруг неподвижной оси. В этом случае удобно действовать непосредственно, не прибегая к разложению движения на переносное и относительное.

Выберем моментный центр О на оси вращения тела, ось вращения совместим с осью неподвижной системы координат Oxyz (рис. 33). Выделим в теле частицу (материальную точку) с массой и радиусом-вектором . Тогда для скорости частицы можем записать

Рис. 33.

Здесь — орты осей Oxyz; — проекции вектора угловой скорости тела на эти оси; — координаты выделенной частицы.

В полученном выражении коэффициенты при ортах равны проекциям скорости частицы на соответствующие координатные оси. Следовательно, для проекций количества движения выделенной частицы будем иметь выражения

Для момента количества движения частицы относительно точки О с учетом полученных равенств получаем

Отсюда следуют формулы для моментов количества движения частицы относительно координатных осей

Суммируя соответствующие моменты для всех материальных точек тела, определяем проекции на оси Oxyz кинетического момента всего тела:

Из этих формул основное значение для дальнейшего имеет формула

определяющая проекцию кинетического момента вращающегося тела на направление оси вращения.

Сравнивая проекции кинетического момента тела с проекциями угловой скорости , видим, что векторы угловой скорости и кинетического момента вращающегося тела не направлены вдоль одной прямой (см. также рис. 33). Векторы и будут коллинеарными лишь в том случае, если выполняются равенства .

Вращающееся твердое тело (ротор), для которого выполняются условия (центр масс лежит на оси вращения) и (ось вращения является главной осью инерции), называется статически и динамически уравновешенным. Таковы, например, однородный круглый диск, однородный круглый цилиндр, однородный шар при их вращении вокруг одной из своих осей симметрии.

Иногда требуется знать проекции кинетического момента на оси , неизменно связанные с самим движущимся телом — . Вид формул для их вычисления сохраняется, только моменты инерции и угловую скорость следует задавать теперь в осях :

Пример. На круглой горизонтальной платформе массы и радиуса R стоит человек массы (рис. 34). Платформа и человек вначале неподвижны. Что будет происходить с платформой, если человек будет двигаться по ней с относительной скоростью по окружности радиуса . Трением в опорах пренебречь, платформу считать однородным круглым диском.

Рис. 34.

Решение. Выберем в качестве системы платформу вместе с находящимся на ней человеком, принимаемым за материальную точку М. Внешними силами будут вес платформы , вес человека , реакции подпятника А и подшипника В. Момент каждой из этих сил относительно оси вращения платформы (оси z) равен нулю, поэтому равен нулю и главный момент внешних сил относительно этой оси. Следовательно, кинетический момент системы относительно оси z остается при движении постоянным, равным своему начальному значению

В начале движения платформа и человек неподвижны, поэтому , и это равенство принимает вид

Если человек будет перемещаться по платформе с некоторой абсолютной скоростью v, то его количество движения имеет относительно оси момент

Но кинетический момент всей системы равен нулю, поэтому платформа начнет вращаться, а ее кинетический момент относительно оси вращения будет равным и противоположным по знаку моменту количества движения человека .

Для определения угловой скорости платформы составим выражение для кинетического момента системы относительно оси :

Так как платформа вращается, движение человека (точки М) будет сложным движением. По теореме сложения скоростей для абсолютной скорости v получаем:

Условие сохранения кинетического момента теперь запишется так:

Отсюда находим

В заключение заметим, что теорема об изменении кинетического момента выполняется только по отношению к неподвижному центру и неподвижным координатным осям. Однако существует единственная подвижная точка, относительно которой теорема продолжает оставаться справедливой. Такой точкой является центр масс (системы или тела). Теорема сохраняется и по отношению к осям Кенига. Доказательство этих положений мы опускаем.