О нахождении закона движения при постоянной силе и силе, зависящей только от скорости

В случаях, когда действующая сила зависит только от скорости или является постоянной, можно применять оба рассмотренных способа разделения переменных.

Пример. Тело массы , лежащее на наклонной плоскости, получает начальную скорость , направленную вдоль плоскости вверх. Найти уравнение движения тела, если коэффициент трения равен , а плоскость составляет с горизонтом угол .

Решение. Тело рассматриваем как материальную точку. Выбираем систему координатных осей с началом в начальном положении тела (рис. 7).

Рис. 7.

После полученного толчка тело первое время движется вверх. Изображаем его в некоторый момент t, прикладываем действующие силы — вес , нормальную реакцию плоскости N, силу трения скольжения Т, составляем дифференциальные уравнения движения:

Так как (тело движется вдоль оси ) из второго уравнения находим: . Это позволяет определить силу трения: . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем

Видно, что имеет место случай, когда действующая сила является постоянной. Делим обе части уравнения на массу, вводим для краткости обозначение

и записываем уравнение в виде

Для определения закона движения тела требуется проинтегрировать это уравнение при начальных условиях:

Решение задачи при первом способе разделения переменных (в переменных ) сводится к следующим действиям:

Решение задачи при втором способе разделения переменных (в переменных ) таково:

Из последнего равенства, разрешая его относительно , находим

В данном примере решение первым способом предпочтительнее, так как приводит к более простым выражениям. Однако это не всегда так — иногда задача решается проще при втором способе разделения переменных. Примеры решения задач на случай, когда сила задается линейной функцией, содержатся в следующей лекции, посвященной колебательным движениям материальной точки.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите общий вид дифференциального уравнения и начальных условий при прямолинейном движении материальной точки.

2. Изложите последовательность действий при интегрировании дифференциального уравнения прямолинейного движения материальной точки под действием силы, зависящей только от времени.

3. Сделайте то же самое в следующих случаях:

3.1. Сила зависит только от положения точки;

3.2. Сила зависит только от скорости точки;

3.3. Является постоянной.

Упражнения

1. В примере на с. 21 определить время движения точки до остановки и пройденный путь. Что будет происходить с точкой после остановки?

2. Решить в указанной последовательности следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 27.2; 27.4; 27.31; 27.33; 27.16; 27.18; 27.19.