О решении задач при помощи теоремы об изменении кинетической энергии

При помощи теоремы об изменении кинетической энергии можно решать широкий круг задач динамики: определять скорости и ускорения точек системы, находить работу неизвестных внешних и внутренних сил, определять перемещения отдельных точек и тел, составлять дифференциальные уравнения движения и т.д.

При определении скоростей удобно пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии в конечной форме. Пусть, например, требуется определить скорость оси катка массы в момент, когда каток, двигаясь без скольжения по наклонной плоскости с углом наклона , проходит путь длиной s. В начальный момент каток неподвижен, трение качения пренебрежительно мало (рис. 54).

Рис. 54.

Применим для катка теорему об изменении кинетической энергии при его перемещении из начального положения (ось катка занимает положение до рассматриваемого положения (ось занимает положение ):

Обозначив скорость оси катка в рассматриваемом положении через v, для кинетической энергии Т катка, совершающего плоскопараллельное движение, находим ( — радиус катка):

Начальное значение кинетической энергии равно нулю, так как в начале движения каток неподвижен.

Работа внутренних сил в абсолютно твердом теле равна нулю: . Внешние силы N и также не совершают работу, так как в каждый момент они приложены к неподвижной точке мгновенному центру скоростей, совпадающему при качении без скольжения с точкой опоры В. Работу совершает только вес катка . Следовательно,

Подставляя найденные величины в выражение для изменения кинетической энергии, получаем:

откуда находим

Если требуется найти ускорение оси катка, то одно из полученных равенств следует продифференцировать по времени. Так, дифференцируя первое равенство, получаем:

Так как , отсюда, сокращая на , находим

Задачу можно решать и с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, записанной в дифференциальной форме. Тогда последовательность действий может быть такой.

Вначале вычисляем кинетическую энергию катка в данном положении, которое принимаем за текущее: . Далее подсчитываем элементарную работу сил на перемещении оси катка:

Вычисляем дифференциал кинетической энергии

и приравниваем элементарной работе:

Разделив обе части этого равенства на и учитывая, что , отсюда находим

Для определения скорости оси катка при таком варианте решения потребуется выполнить интегрирование. Для этого ускорение а представляем в виде после чего последовательно находим:

Пусть скорость оси катка в конце пути s нам известна и требуется определить постоянный момент трения качения , который более не считается пренебрежимо малым. В этом случае сумма работ действующих сил включает в себя новое слагаемое — работу постоянного момента пары сил трения качения:

Здесь — момент трения качения, направленный противоположно направлению вращения (на рис. 54 не показан); — угол поворота катка, соответствующий его перемещению на величину s; — радиус катка. Применяя теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме, получаем:

Отсюда для определения момента находим:

Вопросы для самопроверки

1. Что называется работой силы? Поясните понятия элементарной и полной работы силы.

2. Как вычисляются работа силы тяжести, работа упругой силы пружины?

3. Какие силы называются потенциальными? Что называется силовои функцией? Потенциальной энергией?

4. Как вычисляется работа потенциальной силы?

5. Поясните определение потенциальной энергии через вычисление работы.

6. Что называется кинетической энергией механической системы? Как вычисляется кинетическая энергия твердого тела при его поступательном и вращательном движениях?

7. Сформулируйте теорему Кёнига. Поясните способ вычисления при помощи теоремы Кёнига кинетической энергии тела при плоскопараллельном движении.

8. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы: 1) в дифференциальной форме; 2) в конечной форме.

9. Всегда ли равна нулю работа внутренних сил механической системы?

Упражнения

1. Однородный стержень ОА длиной и массой удерживается в горизонтальном положении нитью АВ (рис. 55). В некоторый момент нить пережигают, и стержень приходит в движение, вращаясь без трения вокруг оси шарнира О. Определить угловую скорость стержня в зависимости от угла поворота .

Рис. 55.

2. При каком условии начнется движение стержня в предыдущей задаче, если в шарнире имеется трение с постоянным моментом Полагая это условие выполненным, найти угловую скорость стержня в этом случае.

3. К свободному концу цилиндрической пружины жесткости с, расположенной вертикально, присоединяют груз массы и отпускают без начальной скорости (рис. 56). Определить наибольшее растяжение пружины.

Рис. 56.

4. Сплошному цилиндру массы и радиуса , расположенному на наклонной плоскости с углом наклона , сообщают скорость центра , направленную вдоль плоскости вверх. Пренебрегая трением качения, найти путь, пройденный цилиндром до остановки, если качение происходит без скольжения.

5. Решить предыдущую задачу при наличии трения качения с коэффициентом к.

6. В примерах 4 и 5 найти скорость оси цилиндра в момент возврата снова в начальное положение.

7. Решить в указанном порядке следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 38.1; 38.3; 38.20; 30.28; 38.30.