Обобщенные координаты и обобщенные силы

Пусть имеем систему материальных точек , подчиненную s удерживающим связям, уравнения которых имеют вид, приведенный выше.

Если бы система была свободной, то все декартовых координат ее точек были бы независимыми. Для указания положения системы потребовалось бы задать все декартовых координат ее точек . В несвободной механической системе декартовых координат ее точек должны удовлетворять s уравнениям связей, поэтому независимыми среди них будут только координат.

Число независимых между собой скалярных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы системы.

Следовательно, механическая система, состоящая из N свободных материальных точек, имеет степеней свободы. Несвободная система из N материальных точек с s удерживающими связями степеней свободы.

Определяя положение несвободной системы, мы можем независимо задавать только координат; остальные s координат определяются из уравнений связей. Однако положение несвободной системы можно задавать более удобным способом — вместо независимых декартовых координат задавать такое же число других геометрических величин, через которые декартовы координаты (как зависимые, так и независимые) могут быть однозначно выражены. В качестве таких величин, называемых обобщенными координатами системы, могут выбираться углы, линейные расстояния, площади и т.п. Удобство состоит в том, что обобщенные координаты можно выбирать с учетом наложенных связей, т.е. сообразуясь с характером движения, допускаемого для системы всей совокупностью наложенных связей. При этом связи учитываются автоматически, а необходимость решать уравнения связей относительно зависимых координат отпадает.

Пример 1. Положение физического маятника, состоящего из шарнирно закрепленного в точке О тяжелого стержня О А, вполне определяется заданием угла (рис. 78). Если угол задан, то для любой точки стержня с заданным расстоянием могут быть вычислены ее декартовы координаты:

Пример 2. Для механической системы, состоящей из математического маятника на подвижной платформе (рис. 79), положение в пространстве вполне определяется величинами s и ( заданы).

Рис. 78.

Рис. 79.

Положение платформы определяется расстоянием s, координаты точечной массы М также легко вычисляются:

Величины (пример 1), и s (пример 2) являются обобщенными координатами указанных систем. Это понятие можно распространить на случай произвольной механической системы.

Таким образом, обобщенными координатами механической системы называются любые независимые между собой геометрические величины, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы .

Независимо от геометрического смысла и, соответственно, размерности, обобщенные координаты обозначают единообразным способом, буквой q с номером: . Из того факта, что обобщенные координаты однозначно определяют положение механической системы в выбранной системе координат Oxyz, следует, что существуют функции

выражающие декартовы координаты всех точек системы через обобщенные координаты и, быть может, время t. Конкретный вид этих функций устанавливается свой для каждой системы (см. примеры 1 и 2).

Если ввести радиусы-векторы точек () указанные функции можно представить в векторной форме

Введем теперь понятие обобщенной силы. Зафиксируем систему в произвольный момент времени t и сообщим ей из этого положения возможное перемещение.

Пусть в результате обобщенные координаты получают приращения (вариации) . Соответствующие элементарные перемещения точек системы найдем, вычисляя дифференциалы функций при фиксированном () времени:

Вычисляя возможную работу приложенных сил, найдем:

Видно, что возможная работа выражается однородной функцией первой степени (линейной формой) относительно вариаций обобщенных координат с коэффициентами

т. e. имеет вид

Коэффициенты называются обобщенными силами.

Таким образом, каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила . При этом обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется коэффициент при вариации этой обобщенной координаты в выражении для возможной работы сил, приложенных к точкам системы.

Обобщенные силы можно вводить для отдельных групп сил, например для активных сил, для реакций связей, для потенциальных сил и т.д. Тогда полная обобщенная сила будет выражаться суммой обобщенных сил, соответствующих этим выделенным группам. Так, если действующие силы поделены на активные силы и реакции связей, то полные обобщенные силы будут равны

где — обобщенные активные силы, — обобщенные реакции связей.

Обобщенные реакции идеальных связей всегда равны нулю. По этой причине реакции идеальных связей можно при вычислении обобщенных сил игнорировать.

Пример 3. Вычислить обобщенную силу физического маятника, состоящего из стержня ОА длиной и массой (рис. 80).

Рис. 80.

Решение. Физический маятник является системой с одной степенью свободы . Следовательно, положение маятника определяется одной обобщенной координатой, в качестве которой выберем угол наклона к вертикали .

Изображаем маятник в произвольном положении, прикладываем действующие силы. Реакции в опоре А можно не показывать, так как шарнир является идеальной связью и его вклад в обобщенную силу равен нулю. Сообщаем системе возможное перемещение — элементарный поворот маятника на угол в сторону возрастания угла . Работу совершает только вес маятника . Его точка приложения (центр тяжести С стержня) опишет дугу длиной , при этом поднимется вдоль вертикали на величину , совершив элементарную работу

Коэффициент при вариации в этом выражении определяет искомую обобщенную силу, т. е.

Пример 4. Найти обобщенную силу для системы, показанной на рис. 81, приняв за обобщенную координату угол поворота барабана . К барабану приложен движущий момент М, между грузом и наклонной плоскостью имеется трение скольжения с коэффициентом . Вес груза равен Р, радиус барабана — .

Рис. 81.

Решение. Возможным перемещением данной системы будет по-ворот барабана на угол в ту или иную сторону и соответствующее перемещение груза. Изображаем силы, совершающие работу на возможном перемещении — момент М, вес груза Р) силу трения скольжения . Элементарный поворот барабана примем в сторону момента М и вычислим возможную работу:

Подставляя сюда значения и вынося за скобки, запишем:

Обобщенная сила Q равна коэффициенту при в полученном выражении, т. е.