Лекция 19. Принцип возможных перемещений

Механическая система может находиться под действием приложенных сил в состоянии равновесия.

Механическая система находится в равновесии относительно данной системы отсчета Oxyz, если скорости и ускорения ее материальных точек относительно этой системы отсчета одновременно равны нулю: .

Принцип возможных перемещений представляет собой некоторое общее правило, выражающее необходимое и достаточное условие равновесия для произвольной механической системы (напомним: в статике необходимые и достаточные условия равновесия устанавливаются только для твердого тела). Прежде чем сформулировать это правило, рассмотрим некоторые новые понятия.

Возможные перемещения

Будем рассматривать несвободную механическую систему. Наличие связей, характерное для несвободной системы, выражается в том, что к точкам системы, кроме активных сил, прикладываются дополнительные силы от действия связей — реакции связей. Однако наличие связей выражается и в другом - материальные точки несвободной системы не могут получать любые перемещения в пространстве.

Они могут иметь только такие перемещения и скорости), которые согласуются с наложенными связями или, иначе, происходят без нарушения связей. Для выделения таких перемещений вводится специальный термин — возможные (или виртуальные) перемещения.

Возможным перемещением механической системы называется любая совокупность (множество) бесконечно малых перемещений ее материальных точек, допускаемая в данный момент времени всеми наложенными на систему связями.

Примеры.

Возможным перемещением материальной точки М, связанной с неподвижной точкой О невесомым стержнем ОМ, служит бесконечно малый вектор , перпендикулярный стержню (рис. 66). Сторона направления не имеет значения.

Рис. 66.

Для материального стержня ОМ (рис. 67) возможное перемещение суть множество векторов , перпендикулярных стержню и направленных в ту или противоположную сторону.

Рис. 67.

Для механической системы, показанной на рис. 68, возможное перемещение задается бесконечно малыми векторами , связанными соотношением и направленными как показано на рисунке или в соответственно противоположные стороны.

Рис. 68.

Возможные перемещения следует отличать от бесконечно малых перемещёрий, которые получают точки системы в ее действительном движении, т. е. в движении, которое фактически совершается системой под действием приложенных сил и при заданных начальных условиях. Действительное бесконечно малое перемещение системы выражается дифференциалами и обусловлено приращением времени t. Возможное же перемещение определяется при фиксировании времени — время считается остановленным, а точкам системы предоставляется возможность перемещаться независимо от времени, сообразуясь только с наложенными связями. Это чисто воображаемое перемещение, не совершаемое в действительности системой.

Чтобы подчеркнуть это различие, для дифференциалов, соответствующих возможным перемещениям, вводится вместо d обозначение .

Возможные перемещения можно задавать, указывая проекции векторов на неподвижные координатные оси Oxyz: называемые вариациями координат. При этом не все вариации можно выбирать свободно — часть из них будут величинами зависимыми и должны выбираться из условия сохранения связей. Например, для математического маятника, показанного на рис. 66, из проекций возможного перемещения независима только одна. Выбрав за независимую вариацию , вариацию мы должны выбирать из условия выполнения связи, т. е. равной (рис. 69).

Рис. 69.

Зависимость между вариациями координат при возможном перемещении системы можно находить при помощи уравнений связей. Например, связь, наложенная на математический маятник (рис. 69), состоит в том, что материальная точка М принуждена все время находиться на окружности радиуса с центром в шарнире О.

Координаты точки удовлетворяют при этом уравнению окружности

которое выражает условие связи в математической форме и называется уравнением связи. Вычисляя дифференциалы от обеих частей уравнения связи, получаем условие, накладываемое связью на вариации координат:

Выбирая одну из вариаций за независимую, вторую вариацию находим из этого уравнения.

Вариации координат можно выражать через промежуточные величины (параметры). Например, для математического маятника (рис. 69), выбрав за параметр угол , для координат точки М получаем

Вычисляя дифференциалы, находим вариации координат:

При таком способе действий уравнение связи также используется, только выражается оно в параметрической форме (уравнения служат параметрическими уравнениями нашей окружности).