ГЛАВА II. Аппарат

§ 1. Вфведение

В учении о неравенствах, по существу, являются основными допущениями только две аксиомы, рассмотренные в гл. I, а также основные законы системы вещественных чисел, такие, как дистрибутивность, принцип математической индукции и т. д. Тем не менее имеется несколько простых теорем, которые выводятся из этих аксиом и так часто встречаются при построении теории и в ее применениях, что их естественно назвать "рабочим инструментом" или "аппаратом" учения о неравенствах.

Эти теоремы или правила действий и их доказательства привлекательны и интересны благодаря своим внутренним достоинствам. Кроме того, они являются отличной иллюстрацией пути, которому следуют математики, когда строят тщательно разработанную систему выводов, исходя из немногих основных положений и допущений. Доказательства обычно коротки, но тем не менее исчерпывающи. А в целом ряде случаев они требуют истинной изобретательности, которая делает математику тем захватывающим воображение предметом, каким она является.

В настоящей главе некоторые из этих теорем будут перечислены, проиллюстрированы и доказаны. Буквы с и т. д., которые встречаются в формулировках теорем, обычно обозначают действительные числа; если символы имеют другой смысл, то это будет оговариваться особо.

Для удобства теоремы или правила, как мы иногда будем их называть, будут формулироваться только для знака В каждом случае имеется эквивалентное правило для отношения Так, условию транзитивности для отношения "если то

соответствует эквивалентное условие для отношения то

Подобным образом вы можете сформулировать правила для отношения эквивалентные каждому из приведенных в этой главе правил, касающихся отношения Но остерегайтесь математических ловушек! Если правило содержит положительный множитель, скажем и требует, чтобы разность двух произвольных величин была положительна, то эквивалентное правило для отношения относится также к случаю множителя (или если это кажется вам предпочтительнее), но не Так, правилу "если то будет эквивалентно правило "если то

Формулировки теорем, которые приводятся в начале каждого параграфа, делятся на две части. Более простая первая часть, имеющая дело со строгим знаком неравенства касается существа результата. Вторая часть относится к случаю нестрогого неравенства кроме того, в ней иногда рассматривается произвольное число действительных чисел. Таким образом, вторая часть имеет дело с более общим случаем. Доказательство обычно дается только для более общего случая, однако оно легко может быть видоизменено с тем, чтобы быть приложимым и к первой части теоремы.

Иллюстрации к теоремам, приводимым в этой главе, будут иногда касаться правила, сформулированного для отношения а иногда эквивалентного правила, касающегося отношения