§ 7. Алгебраическое определение абсолютной величины

Последнее определение величины которое мы сейчас приведем, на первый взгляд может показаться менее всего удобным, так как оно представляется не имеющим отношения к делу и довольно неестественным. Но на самом деле это определение обладает большими достоинствами, связанными с чисто алгебраическим его характером. Именно поэтому этим определением абсолютной величины мы будем пользоваться чаще всего.

Для того чтобы прийти к этому определению, заметим, что если то

Если

и если то

Аналогично для любых действительных а

и это как раз и есть наше алгебраическое определение величины

Фактически определение является частным случаем соотношения Пифагора

связывающего длины катетов и длину гипотенузы с прямоугольного треугольника; к нему мы приходим, положив Таким образом, абсолютная величина действительного числа а может быть истолкована как длина отрезка числовой прямой между началом отсчета и точкой, изображающей число а (см. рис. 1 на стр. 9). Читатель, который продолжит изучение математики, вскоре узнает, что это последнее определение абсолютной величины (так же как и ее геометрическое истолкование) может быть соответствующим образом обобщено: абсолютную величину можно определить и для других математических объектов, например для векторов или комплексных чисел.

В только что приведенном алгебраическом выражении для величины заслуживают внимания два момента: во-первых, то, что число всегда неотрицательно, так что квадратный корень из является действительным числом; во-вторых, то, что по определению Под символом У понимается неотрицательное (арифметическое) значение квадратного корня. Разумеется, так что корень квадратный из числа 4 имеет два значения, а именно ±2; но в алгебраических выражениях под символом понимается только число 2, но не —2. Рассмотрим, например, равенства

и

Первые два из них правильны, последние же два неправильны, ибо символ всегда обозначает неотрицательное

значение квадратного корня. По этой же причине в известной формуле решения квадратного уравнения

перед символом У появляется знак а именно

Упражнения

(см. скан)