§ 8. Степени и корни

Теорема 7. Если и — целые положительные числа, и если и положительные корни степени то

Более общо: если неотрицательное целое число и положительное целое число

и если положительные корни степени то

причем тогда и только тогда, когда либо (1) либо

Некоторые значения для приведены в табл. 2. Из этой таблицы видно, что для каждого положительного значения в то время как

Таблица 2 (см. скан) Степени некоторых чисел

Доказательство. Если то , так что в этом случае в (2.9) имеет место знак равенства.

Если то на основании правила умножения неравенств (теорема 5); при этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда Если бы было верно то также было бы верно или Но, по предположению, поэтому Следователь но, причем в том и только том случае, когда

Теперь рассмотрим степени с отрицательными показателями. Положим

тогда

Так как мы только что показали, что

то в силу теоремы 6

т. е.

где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда т. е. когда

Это правило может быть также распространено и на положительные и отрицательные иррациональные степени.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)