§ 9. Симметрические средние

Вы можете подумать, что учение о неравенствах нами уже почти исчерпано. В действительности же имеет место обратное. До сих пор мы только скользили по поверхности, не проникая в глубь темы. Доказанные нами неравенства можно обобщать бесчисленным рядом способов, и эти обобщения в свою очередь могут быть обобщены. Их можно весьма остроумно комбинировать, получая при этом множество новых выводов, что мы и проиллюстрируем в этом и следующем параграфах.

Укажем, например, одно интересное обобщение теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Образуем три средних:

Тогда для любых неотрицательных чисел имеют место неравенства

(Доказательство этого предложения предоставляем читателю.) Последнее в свою очередь является частным случаем аналогичного утверждения, справедливого для любых неотрицательных чисел, для которых можно образовать средних, начиная со среднего арифметического и кончая средним геометрическим.