§ 6. Умножение

Теорема 5. Если то

Более общо: если , то

Знак равенства в (2.2) имеет место в том и только том случае, когда

Так, умножая на мы получаем или Заметим, однако, что, хотя тем не менее поэтому требование положительности фигурирующих в неравенствах чисел является существенным.

Доказательство. Проведем доказательство при помощи метода математической индукции. Обычно

такое доказательство строится по следующей схеме. Сначала проверяется, выполняется ли утверждение, которое должно быть доказано для всех положительных целых чисел для одного или двух первых чисел. Затем предполагается, что это утверждение справедливо для всех целых чисел, предшествующих некоторому определенному числу, скажем включая и это последнее число. При этом предположении доказывается, что утверждение справедливо и для ближайшего большего целого числа, а именно для числа Так как может быть любым числом частности, можно положить или 2, для которых утверждение проверено), то мы заключаем, что утверждение действительно справедливо для всех целых положительных чисел.

При заключение теоремы 5 просто повторяет ее условие. Этого, собственно говоря, уже достаточно для обоснования первого шага доказательства по индукции. Мы, однако, проведем также доказательство, отвечающее случаю т. е. покажем, что если и то

Неравенство

справедливо в силу правила умножения неравенств на положительные числа. Знак равенства здесь имеет место в том и лишь том случае, когда Неравенство

следует из того же самого правила. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда А теперь справедливость неравенства

следует из неравенств (2.3) и (2.4) на основании условия транзитивности (теорема 1 гл. II); знак равенства в формуле (2.5) имеет место тогда и только тогда, когда он имеет место в (2.3) и (2.4), т. е. тогда и только тогда, когда

Мы показали, что неравенство (2.2) выполняется при и при

Предположим, далее, что неравенство (2.2) справедливо для всех в частности для произведения чисел:

причем знак равенства имеет место в том и только том случае, когда

Далее, умножая обе части неравенства (2.6) на число мы получаем на основании правила умножения неравенства на положительное число (теорема 3 гл. II)

где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

На основании этого же самого правила, умножая неравенство

на число получаем

Здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

Далее из неравенств (2.7) и (2.8) на основании условия транзитивности следует, что

Равенство имеет место в том и только том случае, когда