§ 6. Неравенство треугольника

Из геометрии мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины его третьей стороны. Посмотрим, как можно выразить эту теорему алгебраически.

Рассмотрим треугольник расположенный так, как показано на рис. 22. Геометрическое неравенство

равносильно алгебраическому неравенству треугольника

Можно ли доказать последнее неравенство, не обращаясь к геометрии? В § 8 гл. III было приведено доказательство для одномерного случая (см. теорему 2 гл. III). в котором неравенство принимает следующий вид:

в этой записи оно встречается чаще, чем равносильное ему неравенство

Наиболее простой способ доказательства двумерного варианта неравенства треугольника (4.50) заключается в том, чтобы доказать равносильное ему неравенство.

Рис. 22. Неравенство треугольника.

Для этого возведем обе части неравенства (4.50) в квадрат, при этом мы придем к неравенству

равносильному (4.50). Легко видеть, что последнее неравенство в свою очередь равносильно следующему:

Но это неравенство является простым следствием известного неравенства Коши [двумерный вариант, см. (4.38)]

что и доказывает неравенство треугольника.

Как и в одномерном случае, определение условий, при которых неравенство треугольника (4.50) обращается в равенство, не представляет особого труда. Вспомним, что в неравенстве Коши (4.52) равенство достигается тогда и только тогда, когда пропорциональны, т. е. когда Неравенство (4.51) может быть получено путем извлечения квадратного корня из обеих частей неравенства (4.52). Эта операция законна, так как имеется в виду неотрицательный квадратный корень из выражения, стоящего слева. Пусть есть отрицательный квадратный корень из выражения стоящего в правой части (4.52). В этом случае даже тогда, когда пропорциональны, в (4.51) будет иметь место строгое неравенство. Таким образом, равенство в (4.51), а следовательно, и в неравенстве треугольника (4.50) достигается тогда и только тогда, когда где неотрицательный коэффициент пропорциональности.

Геометрический смысл этого условия, необходимого и достаточного для того, чтобы в формуле (4.50) имело место равенство, заключается в следующем: точки (рис. 21) должны принадлежать одной прямой, причем точки расположены по одну сторону от точки О. При треугольник превращается в отрезок прямой. Иначе говоря, точки не только лежат на одной прямой с точкой О, но и лежат на одном луче с началом О.

Легко убедиться в том, что полученные здесь условия согласуются с соответствующими условиями для одномерного случая (неравенства где равенство достигается тогда и только тогда, когда числа имеют один знак.

Доказательство неравенства треугольника можно обобщить, следуя по тому же пути, что и при выводе

неравенства Гёльдера, а именно доказать, что неравенство

имеет место для любых действительных значений причем, как и прежде, равенство достигается в том и только том случае, когда числа пропорциональны и коэффициент пропорциональности положителен. Мы вернемся к этому неравенству в гл. VI, где будет рассмотрен его геометрический смысл.

Перейдем к другому доказательству неравенства треугольника, которое можно использовать также и для получения более общих результатов. Имеет место тождество

Неравенство Коши в форме, использующей квадратные корни [см. (4.51)], применим по очереди к двум выражениям:

и

Мы получим

и

Сложим эти два неравенства

Разделив обе части на общий множитель будем иметь

Таким образом, мы еще раз доказали неравенство треугольника (4.50).

Условия, при которых в последнем соотношении достигается равенство, можно определить из анализа промежуточных неравенств [полученных после применения неравенства Коши в форме (4.51)]: равенство опять имеет место тогда и только тогда, когда

где некоторый неотрицательный коэффициент пропорциональности, другими словами, тогда и только тогда, когда три точки лежат на одной прямой, причем точки расположены по одну сторону от точки О.