§ 9. Касательные

Применим теперь теорию неравенств к задаче нахождения касательной к данной кривой. Конечно, здесь мы сможем опереться только на нашу математическую интуицию,

поскольку точное определение того, что мы понимаем под касательной к кривой в данной точке, лежит за пределами круга вопросов, обсуждаемых в этой книге.

Рис. 33. Кривая и хорда.

Рассмотрим кривую, определяемую уравнением и прямую, заданную уравнением

которая пересекает нашу кривую в точках как это изображено на рис. 33. Будем перемещать прямую параллельно себе самой [это вызовет только изменение значения в уравнении (5.16) прямой], пока эти две точки не сольются в одну точку (см. рис. 34).

Рис. 34. Кривая и касательная.

Прямую можно назвать касательной к кривой в точке Обратим внимание на то, что здесь мы и не пытались точно определить понятие касательной. Однако вы уже знакомы с касательной к окружности и можете убедиться в том, что в данном частном случае описанная процедура приводит к ожидаемому результату.

Используем описанное построение и теорию неравенств для того, чтобы найти касательные к эллипсу, имеющие данное направление. Предположим, что эллипс (см. рис. 35) задан уравнением

и положим, что одна из двух точек касания с эллипсом прямых вида где - фиксированы (причем может принимать любое значение.

Рис. 35. Эллипс и две параллельные касательные к нему.

Заметим, что точка касания удовлетворяет следующим условиям:

а) Точка принадлежит эллипсу, т. е. значения удовлетворяют уравнению

б) Точка принадлежит прямой, т. е. значения удовлетворяют уравнению

в) При переменном расстояние от начала координат до прямой максимально по сравнению со всеми другими прямыми, для которых существуют точки удовлетворяющие условиям а) и б).

Расстояние от начала координат до прямой определяется формулой

Чтобы убедиться в этом, отметим, что подъем прямой

равен (см. рис. 36), и поэтому уравнение перпендикуляра опущенного из начала координат на прямую, имеет вид

Рис. 36. Формула расстояния.

Решая систему линейных уравнений (5.19) и (5.20), мы найдем, что координаты точки имеют вид

Поэтому расстояние от начала координат до точки равно

а так как по условию б) то отсюда и вытекает справедливость формулы (5.18).

Следовательно, задача нахождения касательной сводится к нахождению максимума выражения (5.18) для всех пар чисел удовлетворяющих условию (5.17).

Применим неравенство Коши, т. е. неравенство (4.38) из § 4 гл. IV. Из него следует, что

Точки касания определяются двумя условиями. А именно 1) они должны лежать на эллипсе, так что координаты должны удовлетворять уравнению (5.17), и 2) расстояние (5.21) должно быть максимальным, т. е. в выражении (5.21) должно иметь место равенство, что достигается тогда и только тогда, когда

Координаты точки касания находятся как решения системы уравнений (5.17) и (5.22)

где оба знака либо одновременно суть знаки "плюс", либо суть знаки "минус". Искомые значения величины (см. рис. 35) могут быть найдены путем подстановки значений и из (5.23) в формулу (5.19).