§ 3. Другие «неевклидовы» расстояния

Определим теперь "расстояние" между началом координат О и произвольной точкой с координатами следующим образом:

где фиксированное число 1. Более обще, расстояние между двумя произвольными точками мы определим так:

Проверим, имеют ли место в этом случае пять свойств расстояния. Расстояние (6.4), несомненно, инвариантно относительно параллельных переносов. Кроме того, оно обладает свойством симметричности, т. е. Далее, неравенство треугольника следует из формулы (4.53), которая была выведена в конце § 7 гл. IV из неравенства Минковского. Четвертое свойство — положительность — также присуще расстоянию Наконец, для точек с координатами и имеем

Таким образом, наше расстояние обладает и пятым свойством.

В этом случае "единичная окружность", т. е. совокупность точек, удаленных от начала координат на расстояние 1, задается уравнением

Как именно выглядит эта "окружность", зависит от частного значения Так, при мы снова приходим к единичной окружности в "геометрии города"; при имеем обычную окружность евклидовой геометрии и т. д. При этом для имеют место неравенства

справедливость которых легко проверяется возведением обеих частей неравенства в квадрат. Евклидовы графики соответствующих "единичных окружностей" изображены на рис. 40. Кривая, отвечающая случаю целиком расположена внутри кривой, отвечающей значению Верно ли, что и в общем случае "единичные окружности" для расстояний, задаваемых равенством (6.3), расположены

таким образом, что линия, отвечающая некоторому фиксированному значению содержит внутри себя все кривые, отвечающие меньшим значениям А если это так, то становятся ли эти кривые все больше и больше при возрастании

Рис. 40. Евклидовы графики неевклидовых «единичных окружностей».

Чтобы ответить на первый вопрос, заметим, что он равносилен следующему: должно ли неравенство

выполняться всякий раз, когда Конечно, должно. Попробуем показать это для и предоставим читателю самостоятельно провести доказательство в общем случае.

С целью сделать записи менее громоздкими введем обозначения

Требуется доказать, что

Запишем

и воспользуемся неравенством Коши (в форме, содержащей квадратные корни). Получаем

Поскольку

неравенство (6.5) можно еще усилить:

или

откуда

Доказательство для произвольных рациональных значений 1 можно получить, воспользовавшись неравенством Гёльдера. Нетрудно видеть, что при стремящемся к 1, "единичная окружность"

неограниченно приближается к изображенному на рис. 39 квадрату

С целью выяснить, что произойдет, если значение будет неограниченно возрастать, заметим, что

Так как

то из (6.6) следует

Рассмотрим теперь, что произойдет с правой частью выражения (6.7), когда станет очень большим. В этой части фигурирует лишь как показатель степени

числа 2. Когда становится очень большим, становится очень малым, и поэтому стремится к Поэтому из (6.7) следует, что при "стремящемся к бесконечности",

стремится к "расстоянию"

Можно показать, что "расстояние" обладает всеми пятью свойствами расстояния.

Как же будет выглядеть "единичная окружность"

Она обратится в квадрат со сторонами

Итак, мы видим, что

при любом можно рассматривать как функцию расстояния и что при неограниченном возрастании "единичная окружность"

увеличивается, стремясь к квадрату (6.9). При этом все "единичные окружности" заключены в пределах квадрата (6.9) (см. рис. 40).

Во всех рассматриваемых случаях "единичная окружность" разбивает плоскость на две области: внутреннюю область, состоящую из всех точек, расположенных от начала координат на расстоянии, меньшем 1, и внешнюю область, содержащую точки, удаленные от начала координат на расстояние, большее 1. Множество точек, определяемых неравенством

иногда называют единичным кругом, а "единичную окружность"

называют границей этого единичного круга.

Сделаем несколько общих замечаний. Евклидово расстояние, как было отмечено выше, инвариантно относительно параллельных переносов (свойство 1) и относительно поворотов (свойство 6), т. е. относительно всех движений (или "жестких перемещений"). Другие расстояния, рассмотренные здесь, также не изменяются при параллельных переносах, однако они изменяются при вращении. Действительно, из рис. 40 нетрудно усмотреть, что расстояние в "геометрии города" переходит в расстояние в (увеличенное в раз), когда плоскость поворачивается на угол 45° вокруг точки Можно показать (мы, однако, здесь на этом не остановимся), что евклидово расстояние полностью характеризуется шестью свойствами, перечисленными в § 1 этой главы, т. е. что единственным расстоянием, инвариантным относительно поворотов (а также обладающим и пятью остальными свойствами "расстояния", является евклидово расстояние).