§ 5. Дополнительные отношения неравенства

Вместо неравенства мы можем с таким же успехом написать что читается "а меньше Эти два неравенства полностью эквивалентны, и, вообще говоря, ни одно из них не имеет никаких преимуществ перед другим. В данной выше иллюстрации аксиомы У мы ради единообразия изложения использовали всюду знак Но в целях единообразия мы с равным успехом могли бы писать во всех случаях а перед Тогда мы имели бы

Аналогично

Символы выражают строгие неравенства.

Двумя другими отношениями, рассматриваемыми при изучении неравенств, являются нестрогие неравенства что означает "а не меньше и соответственно не больше b Первое из них, означает, что либо либо так, например, , но также и Второе, означает, что либо либо так, и .

В (1.2) утверждается, что в каждом из разобранных примеров имеет место одно из трех отношений, перечисленных в аксиоме Аксиома же утверждает, что имеет место только одно из этих соотношений. Поэтому, чтобы завершить иллюстрацию аксиомы I, мы должны добавить еще следующие утверждения:

означающие, что не меньше и не равно

Вы, конечно, чувствуете, что отрицательные утверждения, перечисленные в (1.3), являются излишними — и в самом деле, никто не станет требовать, чтобы вы писали их для пополнения информации, содержащейся в (1.2). Это объясняется тем, что принцип несовместимости неравенств, выражающийся словами "одно и только однов в формулировке аксиом I или считается само собой разумеющимся.

Ясно, что в силу принципа несовместимости неравенств отвечающие друг другу соотношения в (1.2) и (1.3) являются равносильными, т. е. каждое из них следует из другого. Тем не менее отрицание неравенства часто является весьма важным понятием.

Если вы боитесь спутать два символа заметьте, что в верных неравенствах, таких, как или более широкий (открытый) конец символа обращен к большему числу, в то время как узкий (заостренный) конец обращен к меньшему числу.