§ 3. Упрощенный вариант задачи Дидоны

Предположим, что в силу каких-либо практических соображений Дидона вынуждена была выбрать прямоугольный участок земли как изображено на рис. 25.

Рис. 25. Упрощенный вариант задачи Дидоны.

Если обозначить стороны прямоугольника через х и у, то его периметр будет равен

а его площадь будет равна

Так как величины х и у представляют собой длины отрезков, они, безусловно, неотрицательны. Поскольку

равно периметру то х и у должны удовлетворять неравенствам

Ясно далее, что площадь не может быть сколь угодно большой. Действительно, из неравенств (5.3) и выражения (5.2) для площади следует в силу теоремы 5 гл. II, что А не может превысить величины т. е. что

Каким же образом определить размеры прямоугольника, при которых его площадь будет максимальной?

Обращаясь к теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел, мы видим, что

Это неравенство имеет место для любых неотрицательных чисел Поскольку в нашем случае то неравенство (5.5) означает, что

Таким образом, мы видим, что полученная нами приближенная оценка для величины [см. (5.4)] может быть существенно уточнена. Мы можем, однако, пойти еще дальше. Вспомним, что, как мы установили раньше, неравенство (5.6) обращается в равенство тогда и только тогда, когда В нашем случае это означает, что новая верхняя оценка для величины площади достигается в том и лишь том случае, когда . При любом другом выборе неотрицательных чисел х и у, удовлетворяющих условию (5.1), площадь прямоугольника будет меньше, чем

О чем говорит проведенный нами анализ? Он говорит о том, что площадь прямоугольника периметра ни в коем случае не может превысить величину и что это максимальное значение действительно может быть достигнуто, причем в том и только том случае, когда стороны прямоугольника равны друг другу и, значит, равны

Таким образом, чисто алгебраическим путем мы получили доказательство хорошо известного до некоторой степени интуитизно ясного факта: прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр, будет квадрат.