ГЛАВА I. Основные положения

§ 1. Отношение «больше»

Вспомним, что символ означает "больше". Тогда мы сможем немедленно ответить на вопрос; правильно ли, что Конечно, правильно.

Но правильно ли, что Можно сказать, что —3 "большее отрицательное число", чем —2. Но это утверждение не является ответом на поставленный вопрос.

Рис. 1. Числовая прямая.

Если действительные числа (положительные и отрицательные, рациональные и иррациональные числа, а также нуль) изображены геометрически обычным способом в виде точек горизонтальной числовой прямой, направленной вправо, как показано на рис. 1, то при движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в порядке их возрастания. Точка, изображающая —2, расположена правее точки, изображающей —3; поэтому следует считать, что Аналогично

Таким образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения неравенства:

Пусть какие-нибудь два действительных чусла, изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева направо. Тогда в том и только том случае, когда точка,

изображающая число а, лежит правее точки, изображающей число

Поэтому, если вы скажете, что или что то это будет противоречить нашему правилу, т. е. будет неверно.

Имея дело с неравенствами, часто предпочтительно и даже необходимо действовать алгебраически, а не графически. Если за основное понятие принять понятие положительного числа, то вышеприведенное геометрическое правило можно будет заменить следующим простым алгебраическим правилом;

Определение. Пусть какие-нибудь два действительных числа. Тогда в том и только том случае, когда число положительно.

Так, если то разность положительна. Поэтому — как и было установлено выше с помощью геометрических рассмотрений. Вы можете проверить неравенства (1.1), используя этот алгебраический метод, основанный на вычитании чисел, а также подтвердить каждое из следующих неравенств как геометрическим, так и алгебраическим путем: