§ 6. Графики неравенств

Прежде чем оставить наглядную и поучительную тему о графиках, исследуем несколько неравенств, содержащих абсолютную величину. Рассмотрим, например, уравнение

и неравенство

Уравнение имеет точно два решения, а именно

Решениями же неравенства будут все значения заключенные в интервале

Аналогично уравнение

имеет точно два решения:

однако решением неравенства

может служить каждое значение удовлетворяющее условиям

(см. рис. 13).

Рис. 13. Графическая иллюстрация неравенства

Чтобы найти решение неравенства

рассмотрим, какой вид принимает это соотношение в каждом из квадрантов координатной плоскости х, у. Так, в первом квадранте, где

неравенство (3.4) равносильно следующему:

Нарисуем отрезок прямой

другими словами, прямой

расположенной в первом квадранте. А так как нас интересуют решения неравенства

то соответствующий график будет состоять из тех точек первого квадранта, которые лежат на этой прямой или расположены ниже ее. Этот график изображен на рис. 14; полный же график, отвечающий неравенству (3.4), изображен на рис. 15,

Рис. 14 можно рассматривать так же как график, отвечающий решению следующей системы неравенств:

Заштрихованные на рис. 16 области (а), (б) и (в) отвечают множествам решений одного первого, одного второго и одного третьего из неравенств (3.5).

Рис. 14. Графическая иллюстрация неравенства

Рис. 15. Графическая иллюстрация неравенства

Троекратно заштрихованная область содержит точки, доставляющие нам решения сразу всех неравенств (3.5). Таким образом, хотя система уравнений

вовсе не имеет решений, множество решений системы неравенств (3.5) заполняет целую область.

Вспомним, что этому до некоторой степени аналогичен случай уравнения которое имеет только два решения, в то время как решения неравенства заполняют целый отрезок. Таким образом, множество

Рис. 16. (см. скан) Неполные графики, отвечающие множествам решений неравенства: Троекратно заштрихованная область на графике г) доставляет решения сразу всех трех неравенств системы (3.5).

всех решений неравенства (или системы неравенств) часто бывает гораздо богаче множества всех решений уравнения (или системы уравнений).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)