§ 4. Неравенство Коши

а) Двумерный вариант: Перейдем к новой теме. Как в музыкальном произведении, эта тема будет переплетаться с главной темой, в результате чего в дальнейшем возникнут еще более замечательные выводы.

В первую очередь отметим, что неравенство

на котором основывались все выводы в предыдущих параграфах этой главы (см. § 2 п. б)), является простым

следствием тождества

имеющего место не только для неотрицательных чисел но и для любых действительных чисел Теперь рассмотрим произведение

Произведя умножение, получим многочлен

совпадающий с тем, который получается после раскрытия скобок в выражении

Отсюда получаем

Так как квадрат неотрицателен, то из (4.37) следует неравенство

для любых действительных чисел Это весьма симпатичное неравенство имеет большое значение для многих вопросов анализа и математической физики. Оно называется неравенством Коши или, более точно, двумерным вариантом неравенства Коши.

Из соотношения (4.37) вытекает, что равенство в (4.38) достигается тогда и только тогда, когда

В этом случае говорят, что две пары чисел и пропорциональны. При с условие (4.39)

можно записать следующим образом:

б) Геометрическая интерпретация. Впервые встретясь с тождеством (4.37), читатель вполне естественно и законно заинтересуется, каким же все-таки образом можно было натолкнуться на этот результат. Тождество выражений (4.35) и (4.36) покажется ему ничем не мотивированным, случайным, некоторым "математическим трюком", свидетельствующим лишь об известной "ловкости рук" автора приведенного доказательства.

Нерушимым принципом математики является то, что в ней нет случайных фактов и положений. Каждый результат, какое бы место он ни занимал, находит свое истолкование, благодаря которому этот результат становится прозрачным, само собой разумеющимся. Это истолкование может не сразу броситься в глаза, и оно может быть найдено не сразу. Часто подлинный смысл математической теоремы проясняется только тогда, когда мы посмотрим на нее, так сказать, "сверху", т. е. с точки зрения более общей теории. Однако истолкование, поясняющее смысл теоремы, имеется всегда — и это исключительно важно. Если бы дело обстояло не так, то математика выродилась бы в набор несвязанных формальных трюков и схоластических выкрутасов.

Часто наиболее простое истолкование алгебраического результата имеет геометрический характер. Формулы, которые кажутся совершенно непонятными и сложными, становятся очевидными, когда раскрывается их геометрическое содержание.

Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 21. Очевидно, что длины отрезков и определяются равенствами

и

Обозначим угол между сторонами и через 0. На основании теоремы косинусов имеем

Подставляя значения и и упрощая полученное выражение, получаем

Поскольку значение косинуса всегда заключено между мы имеем

Возводя в квадрат равенство (4.40) и учитывая (4.41), получаем

и, наконец,

А это ведь опять двумерный вариант неравенства Коши (4.38) — неравенства, ранее казавшегося таким непонятным и странным.

Рис. 21. Геометрическая интерпретация неравенства Коши.

Кроме того, мы видим, что равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда т. е. тогда и только тогда, когда или другими словами, в том и лишь том случае, когда точки лежат на одной прямой. При этом должно иметь место равенство подъемов прямых и иначе говоря, если с то должно быть

в) Трехмерный вариант неравенства Коши. Вышеприведенная интерпретация неравенства Коши для двумерного случая хороша еще и тем, что позволяет нам при помощи геометрической интуиции легко сообразить, какой вид будут иметь аналогичные результаты, относящиеся к более сложному случаю любого числа измерений.

Перейдем к случаю обыкновенного или трехмерного пространства (пространства трех измерений). Пусть две точки, несовпадающие с началом координат . Тогда косинус угла 9 между прямыми и будет определяться равенством

которое, в силу того что приводит к трехмерному варианту знаменитого неравенства Коши

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда три точки лежат на одной прямой, что выражается соотношениями

имеющими смысл при условии, что все числа стоящие в знаменателях, отличны от нуля.

г) Тождество Коши — Лагранжа и -мерный вариант неравенства Коши. Чисто

алгебраическое доказательство трехмерного варианта неравенства Коши (4,42) можно вывести из следующего тождества:

Очевидно, что последнее выражение в (4.43) неотрицательно, так как оно состоит из суммы трех неотрицательных членов. Поэтому

Таким образом, еще одним путем доказано неравенство Коши для трехмерного случая. Из тождества (4.43) видно также, когда неравенство Коши обращается в равенство: последнее выражение в (4.43) равно нулю, лишь если каждое из трех его слагаемых равно нулю, т. е. если все числа пропорциональны.

Если вы впоследствии будете изучать аналитическую геометрию в пространстве, то вы узнаете, что тождество (4.43) — это не что иное, как соотношение

выраженное иным способом.

Тождество (4.43) можно обобщить следующим образом: для любой системы действительных чисел имеем

Это — известное тождество Коши — Лагранжа. Из тождества Коши — Лагранжа непосредственно следует

-мерный вариант неравенства Коши: для любых действительных чисел

д) Другое доказательство трехмерного варианта неравенства Коши. Все приведенные выше доказательства приводят к желаемому результату, и с этой точки зрения они вполне удовлетворительны. Однако использованные в них методы не являются настолько общими, чтобы их можно было применить и в других, интересных для дальнейшего, ситуациях. Поэтому здесь мы начнем снова с самого начала и укажем новую схему доказательства.

Начнем с нашего основного неравенства которое можно записать в следующем виде:

Неравенство (4.46) имеет место для любых действительных чисел х и у. Вместо х и у последовательно подставим в (4.46) следующие выражения: сначала

затем

и, наконец,

где действительные числа. Складывая три полученных таким образом неравенства, получаем

что бесспорно равносильно неравенству

в свою очередь равносильно неравенству Коши (4.42), что и требовалось доказать. Тем же путем можно получить -мерный вариант неравенства Коши (4.45).