§ 4. Обратная задача

Рассмотрим теперь следующую задачу: найти прямоугольник наименьшего периметра, ограничивающий заданную площадь. Эта задача обратна или двойственна первоначальной задаче Дидоны.

Возвращаясь к равенствам (5.1) и (5.2), мы видим, что теперь нам нужно определить те значения неотрицательных величин при которых сумма будет минимальной, в то время как произведение этих величин дано.

Можно ожидать, что та же теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом поможет решению и этой задачи. Из соотношения (5.5) следует

Отсюда имеем

и, значит,

Следовательно, мы можем утверждать, что периметр искомого прямоугольника должен быть во всяком случае не меньше и что, кроме того, это минимальное значение действительно достигается, причем тогда и только тогда, когда Итак, и здесь прямоугольником оптимальной формы оказывается квадрат.

Это взаимное соответствие между решениями двух задач не является случайным. Обычно при решении вариационных задач подобного типа из решения прямой задачи автоматически следует решение обратной задачи.

Доказательство этого принципа двойственности можно найти в книге Н. Д. Казаринова "Геометрические неравенства", на которую мы уже ссылались выше