ГЛАВА IV. Классические неравенства

§ 1. Введение

Теперь, когда мы выковали наши основные инструменты, продемонстрируем некоторые чудесные свойства математики. Подобно тому как художник всего лишь несколькими мазками кисти по холсту вызывает к жизни картины исключительной красоты, как музыкант из сочетаний всего лишь нескольких звуков рождает волшебные мелодии, так и математик из немногих глубоких логических предпосылок создает выводы, отличающиеся подлинным изяществом. Несмотря на их простоту, эти выводы часто кажутся нам таинственными, будто возникшими по мановению волшебной палочки, потому что их происхождение скрыто.

Основные результаты первых трех глав мы здесь используем для изучения некоторых наиболее важных для математического анализа неравенств. Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты, работающие в этой области математики.

В следующей главе книги мы покажем, как можно применить эти новые соотношения для решения ряда интересных проблем, которые на первый взгляд кажутся совсем не связанными с учением о неравенствах и вообще с алгеброй. Приложением этих неравенств мы займемся и в последней главе, посвященной анализу и обобщению понятия расстояния.

Такова одна из очаровательных сторон математики — простые идеи, примененные в должной последовательности, приводят к результатам, которые никак нельзя было бы предвидеть заранее!