§ 5. Алгебра и геометрия

Как мы имели возможность убедиться при чтении предыдущих параграфов, геометрическая интуиция может быть использована для вывода интересных алгебраических результатов. В случае двух и трех измерений эти приемы хороши. Но как только мы обращаемся к -мерной геометрии, где ситуация становится обратной. Теперь мы часто обращаемся к алгебре, при помощи которой можно уточнить геометрические определения и установить результаты, имеющие геометрический характер.

Проиллюстрируем эту мысль. Пусть действительных чисел представляют собой координаты точки в -мерном пространстве. "Евклидово расстояние" между двумя точками -мерного пространства определяется формулой

При формула (6.13) сводится к известной формуле для расстояния между двумя точками и на плоскости. Если мы обозначим начало координат ( через О, а точку через то неравенство треугольника в -мерном пространстве

будет выглядеть так:

Как было показано в конце § 6, гл. IV, это неравенство имеет место.

Определим теперь косинус угла между прямыми и следующим образом:

Из неравенства Коши (см. § 4 гл. IV) следует, что

Этим самым мы заложили основы аналитической геометрии -мерного пространства