ГЛАВА V. Задачи на максимум и минимум

§ 1. Введение

В этой главе мы продемонстрируем использование неравенств, установленных в предыдущей главе, для решения ряда важных и интересных задач — задач на максимум и минимум.

Все задачи, с которыми мы встречаемся в алгебре и тригонометрии, имеют следующий характер: требуется определить результат, если заданы начальные данные и последовательность операций, которые над ними нужно произвести, или, наоборот, заданы операции, которые нужно произвести, и окончательный результат, а требуется определить исходные данные.

Например, вы встретились с тремя рабочими: энергичным и трудолюбивым рабочим А, расчетливым и добросовестным рабочим В и отъявленным лентяем производительность каждого рабочего нам известна. Эти рабочие копают канавы, строят плавательный бассейн или возводят дома. Задача заключается в том, чтобы определить, сколько им потребуется времени, если известна работа, выполненная каждым из них, или определить работу рабочего С, если известно время, которое они все вместе затратили, и работа, выполненная рабочими А к В

Вот еще пример: заданы две стороны треугольника и угол между ними, либо заданы все стороны треугольника; задача заключается в определении всех неизвестных элементов треугольника.

Эти примеры относятся к области задач, которые условно можно назвать описательными.

В этой главе мы рассмотрим задачи совершенно иного характера. Мы будем иметь дело с ситуациями, при

которых имеется множество возможных путей достижения цели, а задача будет заключаться в выборе оптимального (самого выгодного) пути. Задачи такого рода возникают во всех областях науки; они составляют одно из наиболее важных применений математического анализа. Кроме того, многие предложения, играющие фундаментальную роль в физике и технике, основаны на принципах, согласно которым физические процессы протекают в природе так, чтобы определенные величины, такие, как время или энергия, достигали минимальных или максимальных значений.

Многие явления такого характера расшифровываются с помощью замечательных методов, разработанных Ферма, Лейбницем и Ньютоном, а именно при помощи дифференциального и интегрального исчисления. Как известно, в XVII веке людей, знакомых с дифференциальным и интегральным исчислением, можно было пересчитать по пальцам. Считалось, что эти люди владеют исключительными знаниями. А теперь этот предмет изучается и в высшей, и в средней школе, и все признают, что овладение им не требует никаких особых талантов и выдающихся способностей.

Если вы прослушаете курс дифференциального и интегрального исчисления, вы убедитесь в том, что многие задачи, которые здесь решаются алгебраически, можно быстро решить при помощи указанных там методов. Было бы забавно решить их в уме с помощью развитой здесь техники, применяя формулы математического анализа для проверки правильности полученных результатов.

Каждому аппарату — интегральному и дифференциальному исчислению, также как и теории неравенств, — присущи свои преимущества и недостатки, касающиеся применений этого аппарата к решению задач на максимум и минимум. Для математики довольно характерно наличие многих различных путей решения любой конкретной задачи. Обычно задача, которую можно решить одним методом, может быть решена и многими другими методами.