ГЛАВА VI. Свойства расстояния

§ 1. Евклидово расстояние

Расстояние между двумя точками на плоскости с которым мы обычно имеем дело, называется евклидовым расстоянием. Обозначим его через Евклидово расстояние определяется формулой

Перечислим теперь некоторые свойства, характерные для этой функции расстояния.

1. Расстояние между двумя точками зависит только от взаимного расположения этих точек, т. е. оно зависит только от разностей их координат Это свойство (заключающееся в том, что расстояние между двумя точками не изменяется при одновременном параллельном переносе обеих точек) называется инвариантностью относительно параллельных переносов.

2. Расстояние от точки до точки равно расстоянию от точки до точки Действительно, из выражения (6.1) следует, что

Это свойство обычно называют свойством симметричности.

3. Функция расстояния удовлетворяет неравенству треугольника

4. Расстояние между двумя произвольными точками неотрицательно

При этом равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда точки совпадают. Это свойство часто называют свойством положительности функции расстояния. Оно непосредственно следует из определения (6.1).

5. Если точка имеет координаты а точка координаты где а — некоторая неотрицательная постоянная, то

здесь О означает начало координат Последнее свойство иногда называют однородностью функции расстояния. Оно вытекает из того, что

Евклидовому расстоянию присуще еще и следующее свойство:

6. Евклидово расстояние между двумя точками не меняется при повороте плоскости на некоторый угол вокруг произвольной точки. Это свойство называют инвариантностью относительно поворотов.