§ 5. Распространение света

Предположим, что нам нужно определить, как распространяется свет, исходящий от источника и попадающий в точку после отражения от плоского зеркала, как показано на рис. 26.

Рис. 26. Отраженный луч света.

Поставленная таким образом задача является, конечно, пространственной. Однако нижеследующий анализ показывает, что световой луч распространяется в плоскости, проходящей через точки и перпендикулярной плоскости зеркала.

Предположим, что среда, в которой распростаняется свет, однородна, так что скорость света постоянна. Как найти точку падения луча на зеркало и отрезки и светового луча? Призовем на помощь принцип Ферма, утверждающий, что реальный путь светового луча между двумя точками выделяется из всех мыслимых путей тем, время прохождения этого пути минимально. Так как среда однородна, то это означает, что отрезки и прямолинейны, и что точка расположена таким образом, что сумма этих отрезков минимальна.

Допустим, что координаты точек соответственно и а неизвестный отрезок равен

тогда (см. рис. 27)

и

Наша задача заключается в определении того значения при котором минимальна сумма т. е. сумма

Применим к этой сумме неравенство треугольника (4.50):

Таким образом, путь, пройденный светом, не может быть меньше постоянной величины и это наименьшее возможное значение достигается тогда и только тогда когда числа и пропорциональны с положительным коэффициентом пропорциональности, т. е. когда

Рис. 27. Определение точки

Посмотрим, каков геометрический смысл условия (5.7). Это условие означает, что прямоугольные треугольники и подобны и что также положительно, так как положительно. Иначе говоря, точка расположена между точками Из подобия прямоугольных треугольников вытекает, что их углы равны между собой: Следовательно, равны между собой также и дополнительные углы: и Таким образом,

из принципа Ферма вытекает известный из оптики закон отражения света: угол падения равен углу отражения

Из него можно также получить и тот более очевидный факт, что точка расположена между точками

Рис. 28. Определение точки геометрическим путем.

Сформулированный выше закон отражения света может быть установлен и из чисто геометрических соображений. Пусть на рис. 28 обозначает некоторую точку оси абсцисс, не сопадающую с точкой точку, координаты которой имеют вид тогда

Таким образом, точка опять соответствует минимуму суммы расстояний

Предположим теперь, что некоторая плоскость служит границей раздела двух однородных сред различной оптической плотности. В среде свет распространяется прямолинейно со скоростью в среде он распространяется также прямолинейно, но уже с иной скоростью Каково наименьшее время, за которое свет от источника расположенного в среде достигает некоторой точки расположенной в среде Здесь мы снова имеем

Задача состоит в том, чтобы определить минимальное время распространения света (путь/скорость)

Эта задача весьма просто решается при помощи дифференциального исчисления; однако наши элементарные неравенства не позволяют это сделать.

Рис. 29. Преломленный луч света.

Минимум времени достигается, если свет от точки до точки распространяется по такой ломаной что углы между отрезками соответственно и и нормалью к плоскости (см. рис. 29) удовлетворяют соотношению

Это известный закон преломления света (закон Снеллиуса).