§ 6. Произведения, содержащие отрицательные множители

К какому виду чисел относится произведение положительного и отрицательного числа? Или произведение двух отрицательных чисел? Для получения ответов на эти вопросы мы можем использовать аксиомы I и II и некоторые их следствия.

Если а к то в соответствии с табл. 1, так что произведение в силу аксиомы II. Отсюда по определению отрицательного числа; но на основании известного правила вынесения за скобки знака минус:

Поэтому Таким образом, мы имеем следующий результат:

Теорема 1. Произведение положительного числа а и отрицательного числа является отрицательным числом.

Аналогично, если и то в соответствии с табл. 1. Отсюда по аксиоме II их произведение Но по правилам алгебры и поэтому Таким образом, мы получаем следующий результат:

Теорема 2. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

В частности, на основании этого последнего результата и аксиомы II квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, есть положительное число. Конечно,

Таким образом, мы получаем один из простейших и наиболее полезных результатов всей теории неравенств:

Теорема 3. Любое действительное число а удовлетворяет неравенству 0. Знак равенства имеет место в том и только том случае, когда