§ 2. Задача Дидоны

Согласно легенде, город Карфаген был основан Дидоной, царицей из Тира. Она искала землю, пригодную для нового поселения. Местные жители весьма неохотно

позволили ей занять территорию, которую она сможет окружить воловьей шкурой. Поняв, что если сделать буквально то, на что рассчитывали туземцы, то она получит очень малый участок земли, который неизбежно будет крайне перенаселен, царица с большой изобретательностью разрезала шкуру вола на тонкие полоски, а затем разложила их так, чтобы окружить площадь, гораздо большую, чем можно было бы просто покрыть одной шкурой.

Математическая задача, с которой встретилась Дидона, заключается в следующем: определить замкнутую кривую данного периметра, ограничивающую максимальную площадь (см. рис. 24).

Рис. 24. Задача Дидоны.

В общей форме эта задача слишком сложна, чтобы ее можно было рассмотреть здесь. Действительно, на нашем настоящем уровне мы даже не можем точно сформулировать эту задачу, так как не знаем, что следует понимать под периметром произвольной кривой и под площадью, ограниченной этой кривой. В интегральном и дифференциальном исчислении содержатся определения этих величин и формулы для их вычисления. Однако решение этой задачи относится к еще более сложному разделу высшей математики — так называемому вариационному исчислению.

Наша интуиция подсказывает, что оптимальной кривой в задаче Дидоны будет окружность. Однако здесь мы не

коснемся этого результата, а сосредоточию наше внимание на некоторых более простых вариантах атой задачи, которые легко исследуются до конца с помощью полученных выше основных результатов теории неравенств. Читателю, пожелавшему продолжить изучение этого вопроса, можно порекомендовать интересную книгу Н. Д. Казаринова Геометрические неравенства, которая входит в ту же серию New Mathemaiical Library, что и настоящая книга