§ 10. Касательные (продолжение)

Решая задачу нахождения касательной к эллипсу в данной точке, мы сможем, затратив немного труда, получить результат, гораздо более изящный, чем тот, к которому мы пришли при отыскании касательной, имеющей данное направление.

Вместо того чтобы решать систему уравнений относительно выражая их через нужно только решить систему уравнений относительно тип, выразив решение через Вот как это просто! Из уравнения (5.22) имеем

где некоторый, пока еще не определенный коэффициент пропорциональности. Подставляя эти выражения в уравнение мы получаем уравнение касательной в следующем виде:

или

Так как, с одной стороны, это точка, принадлежащая касательной, и, с другой стороны, точка, принадлежащая эллипсу, то числа удовлетворяют равенству (5.17), т. е. Отсюда вытекает очень простой и изящный результат. А именно касательная к эллипсу

в принадлежащей эллипсу точке выражается уравнением

Когда вы будете изучать математический анализ, вы увидите, что этот результат можно получить также с помощью дифференциального исчисления.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)