§ 2. Транзитивность

Теорема 1. Если то

Более общо: если то причем в том и только том случае, когда все числа а равны между собой.

Так, если при подсчете своих расходов вы заметили, что в субботу расходуете больше денег, чем в любой другой рабочий день недели, и что в воскресенье вы расходуете по крайней мере столько же денег, сколько

в субботу, то вы можете заключить, что в воскресенье вы расходуете больше денег, чем в любой рабочий день, отличный от субботы.

Вспомним еще, что решение упр. 1 из. гл. I выглядит так:

Эта сложная запись означает только, что каждый из первых девяти членов этой последовательности меньше непосредственно следующего за ним члена; так, Отсюда на основании приведенного выше условия транзитивности следует, что каждое из чисел этой последовательности меньше любого последующего числа. Например,

Доказательство. Условие транзитивности может быть доказано при помощи метода математической индукции. (Объяснение сущности этого метода см. в § 6 гл. II.) Однако для этого первого правила нашей книги мы укажем здесь простое непосредственное доказательство, касающееся случая, когда мы имеем четыре действительных числа.

Предположим, что На основании алгебраического определения неравенства каждая из величин принадлежит либо множеству либо множеству О. Поэтому сумма

есть либо элемент множества (по аксиоме II), либо элемент множества при этом множеству О эта сумма принадлежит тогда и только тогда, когда

Таким образом, где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство теоремы в общем случае мы оставляем Для упражнений.