§ 2. Расстояние в «геометрии города»

Оказывается, что в рассмотрение можно ввести также и много других полезных и интересных "неевклидовых" расстояний. Чтобы функцию двух точек можно было назвать "расстоянием", она должна обладать перечисленными выше свойствами 1—5 обычного расстояния (6.1). Лишь евклидово расстояние удовлетворяет всем шести свойствам.

В качестве примера мы рассмотрим здесь расстояние в "геометрии города". Предположим, что все улицы вашего родного города имеют два фиксированных направления: с юга на север и с востока на запад. Предположим

также, что в городе нет незастроенных площадей» которые можно было бы пересекать, т. е. передвигаться можно только строго по улицам (см. рис. 37).

Рис. 37. Расстояние в «геометрии города».

Расстояние в "геометрии города" мы определим как длину наименьшего пути, по которому можно пройти в вашем городе от точки до точки путь от точки Р до точки должен состоять исключительно из горизонтальных и вертикальных отрезков; поэтому расстояние состоит из суммы всех горизонтальных расстояний и всех вертикальных расстояний, которые нужно пройти, перемещаясь от точки к точке

Рис. 38. Расстояние в «геометрии города»; исключительный случай.

Отсюда следует, что расстояние в "геометрии города" можно определить как

хотя, строго говоря, это и не совсем точно опишет ситуацию. [Это будет неверно для случая, изображенного на рис. 38, где точки расположены между одними

и теми же двумя улицами, проходящими с севера на юг (или с востока на запад); в этом случае пешеход вынужден будет в процессе движения идти по двум противоположным направлениям.] Тем не менее мы примем (6.2) за определение нового "неевклидового" расстояния — ведь наш пример с городскими кварталами только иллюстрирует возможность нового определения расстояния. [Если городские кварталы очень малы, определение расстояния (6.2) довольно точно. Без обращения к городским кварталам функцию (6.2) можно определить как наименьший возможный путь, который нужно пройти при движении от точки до точки при условии, что допускается лишь движение по четырем главным направлениям — на юг, на север, на восток и на запад.]

Посмотрим теперь, обладает ли расстояние определенное формулой (6.2), характерными для расстояния свойствами 1—5.

Так как в формулу (6.2) входят только разности координат, то расстояние безусловно, инвариантно относительно параллельных переносов, т. е. оно обладает свойством 1.

Так как то расстояние симметрично, т. е. оно обладает свойством 2.

С целью установить неравенство треугольника

предположим, что точки имеют соответственно координаты В таком случае

Так как на основании теоремы 2 гл. III (стр. 55)

и

мы имеем

что и доказывает справедливость свойства 3.

Расстояние в "геометрии города", безусловно, удовлетворяет свойству 4, так как абсолютная величина любого действительного числа всегда неотрицательна. Расстояние положительно, если точки не совпадают.

Справедливость свойства 5 легко проверить, поскольку при

Теперь попробуем перенести на "геометрию города" понятие окружности в евклидовой геометрии. В геометрии

Рис. 39. Единичная окружность в «геометрии города».

Евклида окружность — это множество точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки — центра окружности. Сохраним это определение в нашей новой "геометрии". Согласно (6.2), "единичная окружность" с центром в начале координат определяется уравнением

Ее вид с обычной евклидовой плоскости изображен на рис. 39 (см. также рис. 15, на котором изображен "круг" нашей "геометрии города"; ниже, стр. 132).