§ 4. Другая формулировка аксиомы I

Аксиома I относится к множеству положительных чисел; с другой стороны, неравенство было нами определено в терминах множества Сформулируем теперь эту аксиому на языке неравенств.

Если произвольные действительные числа, то их разность также действительное число; поэтому аксиома I может быть применена к Таким образом, либо (т. е. ) либо (т. е. ), либо (т. е. ) и эти три возможности взаимно исключают друг друга. Таким образом, следствием аксиомы I является следующее утверждение:

Аксиома У. Если действительные числа, то имеет место одно и только одно из следующих отношений:

В специальном случае аксиома V утверждает, что если а — действительное число, то выполняется одно и только одно из следующих трех исключающих друг друга положений: Следовательно, аксиома I может быть выведена из аксиомы

Если утверждение может быть выведено из утверждения (т. е. является его следствием), говорят, что "из следует Мы только что видели, что из аксиомы I следует аксиома I, а также, что из аксиомы V следует аксиома Если каждое из двух утверждений следует из другого, то говорят, что они равносильны или эквивалентны. Таким образом, аксиомы эквивалентны.

В целях иллюстрации аксиом рассмотрим числа

Иллюстрируя аксиому I, отметим, что отметим также, что (читается: не есть элемент множества

В качестве иллюстрации аксиомы V укажем, что

Итак, мы видим, что в каждом из этих четырех случаев имеет место одно и только одно из трех отношений, фигурирующих в аксиоме Пояснение аксиомы I будет продолжено в следующем параграфе, после того как будут введены некоторые дополнительные отношения неравенства.