§ 5. Функция sgn

График одной функции, имеющей близкое отношение к показан на рис. 10. Эта функция обозначается через (читается "сигнум или "знак не путайте с функцией и определяется равенствами

Рис. 10. График функции

Точки, отвечающие координатам и , на рис. 10 отмечены светлыми кружочками для того, чтобы подчеркнуть, что они не включаются в график. Точка же, соответствующая координатам отмечена черным кружочком, чтобы подчеркнуть, что она включается в график.

Функция связана с функцией посредством понятия подъема, которое определяется следующим образом:

Пусть невертикальная прямая линии плоскости, и пусть две различные ее точки (см. рис. 11 и 12).

Рис. 11. Прямая имеющая положительный подъем.

Рис. 12. Прямая имеющая отрицательный подъем.

При переходе от подъем по вертикали выражается направленным отрезком а сдвиг по горизонтали — направленным отрезком Конечно, либо подъем по вертикали, либо сдвиг (вправо) по горизонтали, либо даже и то и другое может оказаться отрицательным. Так, на рис. 12 подъем отрицателен (в действительности это спуск) Отношение величины подъема к соответствующему смещению по горизонтали, имеющее одно и то же значение для любых пар точек прямой называется удельным подъемом или просто подъемом прямой

Легко проверить, что подъем прямых равен соответственно 1 и —1 (см. рис. 4 и 5).

Теперь рассмотрим подъем графика изображенного на рис. 6; при этом не будем также терять из виду ординаты графика изображенного на рис. 10.

При график совпадает с графиком и имеет подъем График при имеет ординату, равную тому же числу 1: при имеем

При график совпадает с графиком и имеет подъем График при имеет Ординату, равную числу —1; при имеем

В точке подъем графика неопределен. Однако можно сказать, что подъем справа в точке равен 1, а подъем слева в этой точке равен —1. Среднее значение этих подъемов равно График при имеет ординату, также равную

Итак, функции геометрически связаны следующим образом:

При значение равно величине подъема графика при оно равно среднему от значений подъема справа и подъема слева этого графика.

Интересно отметить, что, хотя функции которые мы анализировали выше, совсем просты, график обладает той замечательной особенностью, что его подъем не непрерывен. А график функции еще более необычен тем, что сам имеет разрыв. Мы здесь не будем делать попыток определить понятия непрерывности и разрыва функции. Однако смысл этих понятий интуитивно ясен из приведенных примеров.

Функция связана с функцией еще и следующим поучительным образом: легко видеть, что для каждого действительного значения а

Это равенство представляет собой еще одно определение абсолютной величины числа а.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)