§ 5. Неравенство Гёльдера

Мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы получить одно из наиболее полезных неравенств математического анализа — неравенство Гёльдера. Оно утверждает, что для любой системы неотрицательных чисел

где числа удовлетворяют условию

В случае мы приходим к неравенству Коши, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Однако в противоположность неравенству Коши в общем неравенстве Гёльдера мы должны будем ограничиться лишь неотрицательными числами так как показатели степени могут иметь дробные значения.

Фактически мы докажем неравенство (4.47) только для рациональных Однако окончательный результат сохраняет силу и для иррациональных Начнем с неравенства

установленного нами в § 3 этой главы [см. (4.33)] для рациональных значений р и q и неотрицательных чисел

Затем используем прием, который мы уже применили в § 4. Положим

затем

и т. д. и сложим неравенства, получающиеся после последовательных подстановок этих значений в (4.33). При этом мы получим

Окончательно, используя (4.48), получаем неравенство, равносильное (4.47). Равенство в (4.49) достигается тогда и только тогда, когда все отношения равны между собой.