§ 10. Арифметико-геометрическое среднее Гаусса

Даны два неотрицательных числа Введем числа определяемые следующим образом:

На основании аксиомы II (стр. 12) числа также неотрицательны. Предположив, что имеем

Кроме того, в силу теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Повторим теперь эти выкладки, образовав числа при помощи формул

Тогда на тех же основаниях, что и выше

и

Продолжим этот процесс, полагая

затем вводя и вообще при ггомощи рекуррентных соотношений

После шага мы получим числа удовлетворяющие неравенствам

Например, если то расположение нескольких первых чисел на числовой оси изображено на рис. 23. Мы видим, что наименьшее, наибольшее из всех этих чисел и что все числа меньше чисел а.

Рис. 23. Арифметико-геометрическое среднее Гаусса.

Однако, сделав шагов, мы не должны останавливаться. Продположим, что мы строим все новые и новые числа определяемые соотношениями (4.54). Каждая пара чисел определенная таким образом, заключена

между значениями предыдущей пары чисел Таким образом, правдоподобно, что числа убывающие при возрастании но все же остающиеся ббльшими любого из чисел приближаются к некоторому фиксированному числу А. Аналогично числа возрастающие при возрастании но остающиеся меньшими любого из чисел а, приближаются к фиксированному числу В. Читателю, знакомому с понятием предела, ясно, что А — предел бесконечной последовательности чисел предел бесконечной последовательности чисел

Кроме того, разность быстро уменьшается при возрастании Можно показать, что на каждой промежуточной стадии величина этой разности меньше половины разности, получающейся на предшествующей стадии. Действительно, учитывая (4.54), имеем

Так как

Прибавляя к обеим частям этого" неравенства получаем

Применив это последнее неравенство к (4.55), имеем

что и требовалось доказать.

Поскольку последовательности чисел приближаются друг к другу, их пределы должны совпасть, т. е.

Общий предел этих последовательностей зависит только от начальных значений чисел Математики говорят в таком случае, что А является функцией чисел Гаусс показал, что эта функция не какой-то курьез а весьма важна для некоторых задач анализа — она может быть использована для обоснования той области математики, которая называется теорией эллиптических функций.