Предисловие

Математику называют тавтологической наукой: другими словами, про математиков говорят, что они тратят время на доказательство того, что предметы равны самим себе. Это утверждение (свойственное философам) весьма неточно но двум причинам. Во-первых, математика, несмотря на свойственный ей научный язык, не является наукой; скорее ее можно назвать искусством, поскольку математическое творчество родственно художественному творчеству. Во-вторых, основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами.

Нижеследующие страницы представляют вам три аспекта теории неравенств. Во-первых, гл. I, II и III посвящены аксиоматическому аспекту теории. Во-вторых, в гл. IV результаты предыдущих глав используются для вывода основных неравенств математического анализа, неравенств, которые на каждом шагу используются в практической работе математика. В гл. V мы показываем, каким образом можно использовать эти результаты для получения ряда интересных и важных экстремальных (т. е. связанных с задачами на отыскание наибольших и наименьших значений) свойств "симметричных" геометрических фигур: квадрата, куба, равностороннего треугольника и т. д. Наконец, в гл. VI изучены некоторые свойства расстояния и рассмотрены некоторые необычные варианты введения расстояния между двумя точками.

Таким образом, книга может удовлетворить любому вкусу. Материал изложен так, что книгу можно читать последовательно или отдельными частями. Некоторые читатели захотят овладеть аксиоматическим подходом, играющим

столь фундаментальную роль в высшей математике — они могут использовать для этого первые три главы книги. Отметим, заодно, что в гл. III приводится много графиков, тесно связанных с неравенствами и разъясняющих их. Другие читатели предпочтут считать эти результаты известными и сразу обратятся к чисто аналитическим выводам; им больше придется по вкусу гл. IV. Найдутся и такие читатели, которые заинтересуются разнообразными примерами применения элементарных неравенств к задачам, которые обычно решаются методами интегрального и дифференциального исчисления; этим читателям предназначена гл. V. Читателей же, интересующихся обобщениями привычных понятий и выводов, привлечет анализ некоторых необычных "неевклидовых" расстояний, проведенный в гл. VI.

Тем же, у кого разгорится аппетит при чтении этой элементарной книги, мы посоветуем обратиться к классическому трактату "Неравенства Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуда и Г. Полиа [1]. Более свежей является имеющая то же название книга Э. Ф. Беккенбаха и Р. Беллмана [2].

Э. Ф. Б.

Р. Б. Санта-Моника, Калифорния