§ 7. Неравенство Минковского

Мы располагаем теперь всеми данными, необходимыми для доказательства еще одного известного неравенства, которым мы обязаны Минковскому. Неравенство Минковского утверждает, что для любых неотрицательных чисел при любом

Неравенство треугольника (4.50) составляет частный случай неравенства Минковского (4.53) для

Доказательство неравенства (4.53) подобно доказательству неравенства треугольника с той лишь разницей,

что здесь вместо неравенства Коши используется более общее неравенство Гёльдера (см. § 5 этой главы), Запишем тождество

и применим неравенство Гёльдера к каждому члену правой части этого тождества. В результате получим

и

Так как то Складывая последние два неравенства, имеем

Разделив затем на получим

Так как то последнее неравенство полностью совпадает с требуемым неравенством Минковского (4.53).

Знак равенства в неравенстве Минковского имеет место, тогда и только тогда, когда он имеет место в неравенстве Гёльдера [при помощи которого и было доказано (4.53)], т. е. тогда и только тогда, когда точки и (расположенные в первом квадранте) лежат на одной прямой с точкой

Аналогично обобщениям неравенств Коши, Гёльдера и неравенства треугольника легко получить и неравенство

Минковского для двух систем из неотрицательных чисел

оно имеет вид

где При знак неравенства следует изменить на обратный,