§ 4. Единичный круг

Существует много других функций, которым присущи пять свойств расстояния; мы рассмотрели лишь немногие из них.

Можно задать следующий вопрос: дано множество точек (которое мы впредь будем называть точечным множеством) плоскости, содержащее начало координат. При каких условиях оно будет представлять собой единичный круг, отвечающий некоторой функции расстояния Другими словами, при каких условиях существует

такая функция расстояния что содержит те и только те точки для которых

Мы утверждаем, что для того, чтобы при данном точечном множестве содержащем начало координат, существовала такая функция расстояний чтобы (вместе с границей являлось единичным кругом, отвечающим необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Рис. 41. Точечные множества на плоскости. а — точечное множество, симметричное относительно начала координат; выпуклое точечное множество.

а) Точечное множество симметрично относительно начала координат.

б) Точечное множество выпукло.

Точечное множество симметрично относительно начала координат, если для каждой его точки также и точка принадлежит оно выпукло, если прямолинейный отрезок, соединяющий любые две принадлежащие точки, полностью содержится в (см. рис. 41, а и б).

Докажем сначала, что свойство а) имеет место, если существует функция расстояния если -произвольная функция расстояния и отвечающий ей единичный круг, то симметрично относительно начала координат. Иначе говоря, если функция расстояния и точка удовлетворяет условию то точка удовлетворяет условию

Если расстояние, то оно инвариантно относительно параллельных переносов. Поэтому, если мы перенесем точки на некоторый отрезок в горизонтальном направлении и на некоторый отрезок у в вертикальном направлении, то расстояние между этими точками останется прежним. Но этот перенос переводит точку в начало О, а начало О в точку Следовательно,

и поскольку обладает и свойством симметричности, то

Следовательно, точка принадлежит единичному кругу.

Докажем теперь, что если существует функция расстояния то имеет место свойство б), т. е. докажем, что если какие-либо две точки, принадлежащие единичному кругу, то прямолинейный отрезок целиком принадлежит единичному кругу. Эту задачу можно выразить еще так: пусть точки таковы, что для некоторой функции расстояния требуется доказать, что для любой точки отрезка имеет место неравенство Очевидно, что это верно, если или если либо точка либо точка совпадает с началом координат; таким образом, мы можем считать, что три различные точки.

В первую очередь запишем в удобной форме то обстоятельство, что точка принадлежит отрезку Пусть на рис. Покажем теперь, что

где и Чтобы убедиться в этом, воспользуемся евклидовой теорией пропорций (учение о подобных треугольниках). Пользуясь одним и тем же

символом для обозначения отрезка прямой и его евклидовой длины, получим

где просто означают выписанные отношения и поэтому являются положительными числами. Кроме того, складывая эти отношения, имеем

Поскольку точки лежат на одной и той же прямой, проходящей через точку О, их координаты пропорциональны.

Рис. 42. Выпуклость единичного круга.

Поэтому мы можем воспользоваться пятым свойством евклидова расстояния и вывести из (6.11), что если точка имеет координаты то координатами точки будут Аналогично, поскольку точки лежат на одной и той же прямой, проходящей через точку О, то, если координаты точки имеют вид координаты точки имеют вид Теперь мы воспользуемся тем, что наше расстояние также обладает пятым свойством, в силу чего

Наконец, воспользуемся третьим свойством расстояний (неравенство треугольника; см. рис. 42):

или, так как на основании свойства 1, то

Воспользовавшись (6.12), получаем

и поскольку

что по определению означает, что точка принадлежит единичному кругу.

Рис. 43.

Таким образом, мы доказали, что если расстояние, отвечающий ему единичный круг, то симметрично относительно начала координат и выпукло. Мы должны еще доказать обратное: если точечное множество, содержащее начало координат, выпуклое и симметричное относительно начала координат, то существует функция расстояния для которой является единичным кругом.

Мы, покажем, каким образом может быть определено такое расстояние однако предоставим читателю труд самостоятельно проверить, что для выполнены пять характеризующих расстояние свойств.

Итак, пусть -точечное множество, обладающее требуемыми свойствами (рис. 43). Дана некоторая точка

плоскости, не совпадающая с точкой О. Проведем луч, выходящий из точки О, проходящий через точку и пересекающий границу точечного множества в точке Z. (Поскольку множество выпукло, то этот луч пересекает его границу в единственной точке.) Затем образуем отношение

евклидова расстояния к расстоянию и определим расстояние от точки О до точки как равное этому отношению, т. е. положим

Заметим, что меньше 1, равно 1 или больше 1 в зависимости от того, находится ли точка внутри 5, на границе 5 или вне 5.

Чтобы определить расстояние для любых точек сдвинем систему координат, как показано на рис. 43, и далее поступим прежним образом.

Отношение длины обычной евклидовой окружности к ее диаметру обозначается символом я; оно приблизительно равно 3,14. В упражнениях, которые приводятся ниже, требуется найти отношение "неевклидовой" длины окружности к диаметру для соответствующего заданному расстоянию единичного круга. Ниже мы проанализируем один частный случай, остальные же случаи предоставим исследовать читателю.

Пример. Пусть множество совпадает с правильным шестиугольником, расположенным так, как это изображено на рис. 44. Поскольку точечное множество выпукло и симметрично относительно начала координат, его можно рассматривать как единичный круг, отвечающий некоторой функции расстояния Так как неевклидов радиус единичного круга по определению равен 1, диаметр этого круга равен 2. Для того чтобы вычислить длину окружности этого единичного круга, отметим, что поскольку инвариантно относительно параллельных

Рис. 44. Правильный шестиугольник, расположенный симметрично относительно осей координат.

переносов, имеют место следующие соотношения:

Сложив длину всех отрезков, мы найдем, что длина окружности равна 6. Следовательно, искомое отношение равно

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)