§ 2. Положительные числа, отрицательные числа и нуль

В предыдущем параграфе мы определили неравенство при помощи понятия положительного числа. Множество всех положительных чисел, аналогичное ему множество всех отрицательных чисел, а также множество О, содержащее единственное число 0, играют существенную роль в изучении неравенств. И действительно, хотя мы, разумеется, будем свободно пользоваться общеизвестными алгебраическими свойствами системы действительных чисел, такими, как коммутативные, ассоциативные и дистрибутивный законы основная идея этой книги

заключается в том, что в основу всех отношений порядка в системе действительных чисел — т. е. всех алгебраических неравенств — могут бить положены две простые аксиомы, относящиеся к множеству положительных чисел. Эти аксиомы будут приведены в следующем параграфе.

Утверждение "а положительно" мы будем символически записывать так: что читается: есть элемент множества или принадлежит множеству Так,

Скажем несколько слов о множествах и об их элементах.

Число нуль, разумеется, является единственным элементом множества оно обладает тем свойством, что

для любого действительного числа а.

Переходя к множеству отрицательных чисел, важно заметить, что понятие отрицательного числа отличается от понятия противоположного числа. Число, противоположное числу а, определяется как число —а, удовлетворяющее равенству

Так, если то число, противоположное а, будет так как Аналогично, если то , так как

Отрицательное число определяется как число, противоположное положительному числу. Так мы знаем, что суть элементы множества положительных чисел; поэтому являются элементами множества отрицательных чисел.

Не пытаясь определить основное понятие — понятие положительного числа, перейдем к характеристике этих чисел при помощи двух основных аксиом.